Портал Естественных Наук, версия 1.1

Цилиндр радиуса $r$

вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ . На него намотана невесомая нерастяжимая нить, на свободном конце нити укреплена точечная масса $m$

. Длину свободного конца нити как функцию времени обозначим за $l(t)$

. Известны начальная длина свободного конца $l(0)=l_0$

и скорость изменения длины в начальный момент $\dot l(0)=u$ . Нить считаем всегда натянутой. Найти $l(t)$

. Показать, что при определенных условиях (каких?) нить никогда не сможет полностью намотаться на цилиндр.

Можно сперва попробовать решить при $\omega=0$ --- это намного проще.

Можно прояснить условие?
А то если "вращается с постоянной угловой скоростью", то и скорость $l$

будет постоянной $r\omega$ .

А если $\omega=0$ , то и скорость будет нулевая? Но ведь нить еще может сматываться с цилиндра и наматываться на него...

Так что там происходит?
Этот груз вокург цилиндра что-ли летает?
Это всё в гравитации или нет?

Груз летает вокруг цилиндра. Про гравитацию в условии, вроде, ни полслова...

Расположим координаты так, что в нулевой момент нить касается окружности в правой точке и идёт вниз.
Угол $\phi(t)$ - угол точки касания (равен нулю в нулевой момент).

Если окружность не вращается, то $l=l_0+\phi r$ .
Если окружность вращается, то будет $l=l_0+(\phi-\omega t) r$ . Тогда $\dot \phi=\dot l /r + \omega$ .
Координаты груза:
$x = r \cos \phi + l \sin \phi$
$y = r \sin \phi - l \cos \phi$

Кинтеическая энергия (если положить $\frac m 2=1$ ) равна $(\dot x)^2+(\dot y)^2$ .
Т.к. потенциальная энергия равна нулю, то Лагранжиан просто равен кинетической энергии.
$L(\dot l, l, t) = l^2 (\dot l)^2/r^2 + 2\omega l^2 \dot l /r+\omega^2 l^2+\omega^2 r^2$ .
Отсюда уравнение движения: $l \ddot l + (\dot l)^2 - r^2 \omega^2 = 0$ .
Если $\omega \neq 0$ , то можно изменить масштаб $l(t) = r \omega q(t)$ .
Тогда уравнение будет: $q \ddot q + (\dot q)^2 - 1 = 0$ .

Если ещё подставить $q(t)=\sqrt {p(t)}$ , то уравнение станет: $\ddot p - 2=0$ .
Значит $q(t) = \pm \sqrt{2c_2 t + c_2^2 - c_1 + t^2}$ .
И $l(t) = \pm r \omega \sqrt{2c_2 t + c_2^2 - c_1 + t^2}$ .

При этом $c_2=l_0 u /(r \omega)^2$ и $c_1=l_0^2 u^2 /(r \omega)^4 - l_0^2 /(r \omega)^2$ .
Значит $l(t) = \sqrt{l_0^2 + 2 l_0 u t + r^2 \omega^2 t^2}=\sqrt{(l_0 + u t)^2 + (r^2 \omega^2 - u^2) t^2}$ .

Да, вы, батенька, садист, сразу лагранжианом по башке

А вообще забавно, согласитесь, что вся энергия тут --- кинетическая, но при этом она не сохраняется, а сохраняется другая величина (кстати, а почему вы упорно не пользуетесь лагранжевыми законами сохранения, а напрямую решаете лагранжевы уравнения --- это ведь сложнее?) А не сохраняется она потому, что вращающийся цилиндр над натянутой нитью совершает работу. И вот это наблюдение дает возможность решить задачу почти школьным методом.

Разобьем скорость массы m на параллельную и перпендикулярную нити. Параллельная связана с вращением цилиндра $v_\|=\omega r$ , а перпендикулярная определяет силу натяжения $F=mv_\bot^2/l$ , а вслед за ней --- мощность, развиваемую вращающимся цилиндром $P=Fv_\|$ , которая равна производной кинетической энергии $\omega rv_\bot^2/l=\frac12(v_\bot^2+\omega^2r^2)'$ . Изменение длины нити связано как с вращением цилиндра (вклад $v_\|$ ), так и с разматыванием нити за счет движения массы вокруг цилиндра (вклад $v_\bot$ ) $l'=-\omega r+(v_\bot/l)r$ . В итоге имеем два уравнения

$v_\bot'=\omega r(v_\bot/l),\quad l'=-\omega r+(v_\bot/l)r.$

Из них находим $v_\bot'-\omega l'=\omega^2r$ , откуда $v_\bot-\omega l=\omega^2rt+ul_0/r$ . Подставляя в уравнение для l, находим

$ll'=\omega^2r^2t+ul_0,$

откуда уже $l^2=\omega^2r^2t^2+2ul_0t+l_0^2$ (ответ, естественно, тот же, что у вас). Нить не сможет полностью намотаться, если квадратный трехчлен в правой части имеет отрицательный дискриминант, а это происходит при $u^2<\omega^2r^2$ .

Но еще красивее решение с переходом во вращающуюся систему отсчета. Там скорость массы перпендикулярна нити, а работу совершает только центробежная сила, поэтому уравнения упрощаются до

$v_\bot'=\omega^2r,\quad l'=(v_\bot/l)r$

и интегрируются впрямую.

peregoudov писал(а):Source of the post сразу лагранжианом по башке

Так он для того и придуман, чтобы работать в обобщённых кординатах (смотри теормех).

Наверно можно было бы и в прямоугольных координатах законами Ньютона обойтись, но сложнее будет.

peregoudov писал(а):Source of the post Но еще красивее решение с переходом во вращающуюся систему отсчета

Наверно.
Там меня смущала сила Кориолиса.
Но если только энергию рассматривать, то Кориолис её не меняет (он только натяжение скорректирует).

Мне тут показалось любопытным, что $\omega$ входит в виде квадрата, т.е. от её знака ничего не зависит.
Не важно в какую сторону крутится, решение тоже самое получается.

Например если $u = -r|\omega|$ и $\omega > 0$ , то это просто наматываение по прямой.
А если у $\omega$ поменять знак, то всё равно будет наматывание с таким же $l(t)$

, только в ту же сторону, что и вращение, которое разматывает, просто наматывание быстрее происходит.

Портал Естественных Наук, версия 1.1

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Нить наматывается на вращающийся цилиндр