Страница 1 из 1
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 21:24
Ian
Уравнение колебаний с управлением
[math]\begin{cases}
\begin{array}{ccc}
\dot{x}= & y & +u_{1}\\
\dot{y}= & -x & +u_{2}
\end{array} & x(0)=A,\;y(0)=0,\;u_{1}^{2}(t)+u_{2}^{2}(t)\leq1\end{cases}
Сложность в том, что ограничение на управление естественно, если х и у равноправные переменные одной размерности, а не так что у производная х
Моделью какой физической задачи это может являться? Может, что-то из магнетизма, когда движение перпендикулярно силовым линиям?
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 22:18
zykov
Если исключить
, то будет
.
Возможный Лагранжиан тут
.
С физической точки зрения это линейный осцилятор, на который действует внешняя нестационарная сила
.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 22:33
zykov
Ian писал(а):Source of the post Может, что-то из магнетизма, когда движение перпендикулярно силовым линиям?
Да, можно и так взглянуть.
Если обозначить
вместо
и
вместо
, то будет движение заряженной частицы в магнитном поле направленном вдоль оси
(смотри
"Сила Лоренца", только
неравно нулю, остальные
и
нулевые) под действием внешней нестационарной силы в плоскости
равной
.
Этой внешней силой могло бы быть например переменное поле
.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 23:11
zykov
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 23:34
Ian
Значит словами: управляем движением частицы в электромагнитном поле, прилагая ограниченное по величине, но не по направлению электрическое. Теперь точнее о направлениях...(путаюсь)
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 23:36
zykov
Нет.
Движение заряженной частицы в однородном стационарном магнитном поле под действием однородного нестационарного электрического поля.
У Вас, электрическое поле перпендикулярно магнитному и не больше заданного по абсолютной величине.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 28 май 2021, 23:52
Ian
Учту. А как представить однородное стационарное магнитное поле? где его в жизни я мог видеть?
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 00:22
zykov
Однородное - не меняется в пространстве.
В жизни всегда меняется, но в достаточно малых масштабах можно считать однородным приближенно.
Стационарное - не меняется со временем.
Например постоянным магнит, который неподвижен. Или магнитная катушка, по которой течет постоянный ток (тоже неподвижна).
Вот например длинная катушка с постоянным током. Внутри неё будет однородное стационарное магнитное поле.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 00:55
Ian
zykov писал(а):Вот например длинная катушка с постоянным током. Внутри неё будет однородное стационарное магнитное поле.
Это да легко представить. и даже сделать. И что действительно внутри заряд будет кругами летать? (Мне же это нужно чтоб при u=0 было)
заряд будет выталкиваться вдоль катушки это даже я знаю (ой это в момент включения или перемены тока. на этом принципе звонок)
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 01:11
zykov
В однородном поле кругами летает.
Но в реальности всегда хоть немного, но неоднородно.
Если интересен эффект неоднородности, то в ЛЛ2 рассмотрен случай движения в слабонеоднородном поле.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 09:18
Ian
Наоборот мне бы прикладную статью. Тогда можно считать исходную систему поиском способа гашения индукционного тока, например? Просто так получилось, что о решениях исходной абстрактной задачи я знаю практически все, в частности множества достижимости X(t), там не совсем тривиально, спирали Архимеда возникают например. И нужны какие-то простые термины , ассоциируемые с жизнью, чтобы объяснить возможные цели управления и какие ограничения на управление считать естественными
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 15:15
zykov
zykov писал(а):Source of the post С физической точки зрения это линейный осцилятор, на который действует внешняя нестационарная сила
Думаю, ничего нового тут не добавить. Это уровень старших классов/первого курса ВУЗа.
Самое интересное тут - это резонанс. Это если внешняя сила имеет гармонику той же частоты, что и осцилятор. Даже если внешняя сила мала по величине, осцилятор будет раскачиватся и амплитуда будет неограниченно расти.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 16:50
Ian
Спасибо. Получается что задача с помощью внешней силы (ограниченной по модулю) как можно быстрее погасить вибрацию, или индукционный ток , и тд. -тоже решается с помощью силы, имеющей резонансную частоту (а разве кто сомневался)) Все таки, ув. участники, если придет в голову еще хорошая аналогия, тоже пригодится
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 17:15
zykov
Непонятно, почему Вы говорите про "управление"...
Управление подразумевает наличие обратной связи "сенсор - управляющая схема - мотор". Тогда должно быть не
, а
.
Это за редким исключением стабилизирвонных динамических систем вроде
маятника Капицы (что впрочем пример стабилизации, а не управления).
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 20:57
peregoudov
Только вот так запросто размахивать электрическим полем, сохраняя однородность магнитного, не получится, ибо
.
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 29 май 2021, 21:49
zykov
Да, предполагается, что скорость изменения электрического поля достаточно мала.
(Ну или просто какая-то другая внешнея сила.)
Придумать задачу под уравнение
Добавлено: 30 май 2021, 12:16
Ian
Спасибо всем!
zykov писал(а):Непонятно, почему Вы говорите про "управление"...
Управление подразумевает наличие обратной связи "сенсор - управляющая схема - мотор". Тогда должно быть не
, а
.
Это за редким исключением стабилизирвонных динамических систем вроде
маятника Капицы (что впрочем пример стабилизации, а не управления).
В задачах на "управляемость" динамических систем (напр. по учебнику Благодатских. Введение в оптимальное управление, Л7,8) даже в простых примерах получается, что достижимость нужного положения (я взял - нуля) за время t устанавливается стандартно и единообразно (через "множества достижимости", интегралы от многозначных функций), но с помощью какой функции u(t) это надо делать, не очевидно, его искать отдельно надо . И действительно часто удобнее и естественно выразить, как в этой задаче,
[math]u=-\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} через текущее положение , а не через t, но главный ответ не меняется, существует возможность управления значит будем искать, а нет так не будем