Моделирование движения в поле 2 тел

eugrita
Сообщений: 10
Зарегистрирован: 28 янв 2019, 22:40

Моделирование движения в поле 2 тел

Сообщение eugrita » 10 июл 2020, 14:52

Моделируется плоское движение точечной массы в силовом поле 2 масс (планет). (или если угодно движение отрицательного заряда в поле 2 положительных зарядов)
Начальное положение точки на линии центров вдоль оси х планет
$\vec{r_0}=[x_0,0]$
начальная скорость перпендикулярна линии центров.$\vec{v_0}=[0,v_{0y}]$
Уравнения движения в безразмерных единицах имеют вид
$ \ddot{x}=-(1-m) \cdot \frac{x}{r_1^3} -m \cdot \frac{x-1}{r_2^3} $
$\ddot{y}=-(1-m) \cdot \frac{y}{r_1^3} -m \cdot \frac{y}{r_2^3} $
$ r_1=\sqrt{x^2+y^2 }$ и $ r_2=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$
где $ m=\frac{M_1}{M_2}$ отношение масс (или зарядов)
В случае силового поля 1 массы как известно траектории -эллипсы или гиперболы.
При данной форме начальных условий их оси параллельны оси х
Критерием вида траектории является величина эксцентриситета орбиты
для нашей формы начальных условий проще вычислить параметр
$ k=0.5 \cdot x_0 \cdot v_{0y}^2 $
если $  k<1 $ движение финитное по эллипсу
если $ k>1 $ -инфинитное по гиперболе.
Так в основном и было при моделировании силового поля 2 масс (Земля-Луна)
Но при некоторых сочетаниях параметров $ k, x_0 $
получаются необъяснимые эффекты.
1) орбита хотя и замыкается но не гладко, т.е. по направлению скорости отличаются
2)при моментах старта близком к Луне $ x_0=0.85, k=1.05 $ и
$ x_0=0.95, k=1.21 $ движение все равно финитное несмотря, что
$  k>1 $ и у траекторий похожих на эллипсы наибольшая ось повернута по отношению к оси х.
Мне кажется, при расположении точки старта и центров масс на 1 прямой и начальной скорости ей перпендикулярной это невозможно хотя бы из соображений симметрии.
На погрешность и шаг численных методов не могу списывать. Случаи проверялись, шаг интегрирования уменьшался до тысячных. Все оставалось.
В чем дело? Можно ли написать формулу на основе выражения потенциальной и кинетической энергии выражающую критерий финитного и инфинитного движения?
Изображение
Изображение

zykov
Сообщений: 1004
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Моделирование движения в поле 2 тел

Сообщение zykov » 10 июл 2020, 23:28

eugrita писал(а):Source of the post Так в основном и было при моделировании силового поля 2 масс (Земля-Луна)

Если нужно моделировать полёт малой массы в поле Земли и Луны, то нужно учесть вращение Земли и Луны относительно их общего центра масс.
Т.е. поле для малой массы будет переменным.
Иначе оно не реалистично (кроме может случая быстрого пролёта насквозь, когда за время взаимодействия положение тяжелых масс мало меняется).

Чисто формально можно конечно рассмотреть движение в стационарном поле "прибитых гвоздями" Земли и Луны.

eugrita писал(а):Source of the post 1) орбита хотя и замыкается но не гладко, т.е. по направлению скорости отличаются

Ну если по направлению скорости отличаются, то орбита не замыкается, а самопересекается, что вполне нормально для двумерного случая.

eugrita писал(а):Source of the post 2)при моментах старта близком к Луне $ x_0=0.85, k=1.05 $ и $ x_0=0.95, k=1.21 $ движение все равно финитное несмотря, что $ k>1 $ и

Наверно тоже нормально, раз моделирование так показывает.

eugrita писал(а):Source of the post Мне кажется, при расположении точки старта и центров масс на 1 прямой и начальной скорости ей перпендикулярной это невозможно хотя бы из соображений симметрии.

Боюсь, там нет такой симметрии.
Когда малая масса в первый раз возвращается обратно к оси x, то её скорость уже не перпендикулярна этой оси.

eugrita писал(а):Source of the post На погрешность и шаг численных методов не могу списывать.

Это легко проконтролировать.
Просто считайте на каждом шаге полную энергию (сумма кинетической и потенциальной) и смотрите, на сколько она убегает.
Основная проблема такого моделирования, что ошибки округления постепенно изменяют полную энергию.
Я, когда давно что-то похожее считал, на каждом шаге корректировал новые значения так чтобы полная энергия сохранялась. Там конечно другие ошибки всё равно набегут, но по крайней мере само собой разгоняться (или затромаживаться) не будет.

eugrita писал(а):Source of the post Можно ли написать формулу на основе выражения потенциальной и кинетической энергии выражающую критерий финитного и инфинитного движения?

Вряд ли.
В центральном поле движение всегда двумерно и сохраняется момент импульса. Так что уравнение сводится к одномерному и там легко записать такой критерий.
При двух массах момент импульса уже не сохраняется (а в нестационарном поле и энергия не сохраняется), так что всё гораздо сложнее.
Конечно в фазовом пространстве можно выделить области финитных и инфинитных движений. Но форма областей скорее всего будет сложной.

eugrita
Сообщений: 10
Зарегистрирован: 28 янв 2019, 22:40

Моделирование движения в поле 2 тел

Сообщение eugrita » 10 июл 2020, 23:46

Cпасибо за замечания. 1)А где узнать о угл скорости или периоде вращения Земли-Луны относительно их ц.т.?
zykov писал(а):Source of the post вполне нормально для двумерного случая.

2)Видно я думал штампами движения в 1 центральном поле. Действительно ли возможно самопересечение орбиты ?
3) заодно еше 1 вопрос. (не по этой задаче). У меня есть модель баллистики (старта ракеты планеты). Вопрос влияния кориолисового ускорения. У меня получилось для земли при периоде Т=24 час влияние кориолисового ускорения мало. Но ведь есть быстро вращающиеся планеты где это может влиять?

zykov
Сообщений: 1004
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Моделирование движения в поле 2 тел

Сообщение zykov » 11 июл 2020, 00:08

eugrita писал(а):Source of the post 1)А где узнать о угл скорости или периоде вращения Земли-Луны относительно их ц.т.?

Например на википедии про Луну.

eugrita писал(а):Source of the post Действительно ли возможно самопересечение орбиты ?

А куда им деватся в двумерном случае? Это в трёхмерном она может мимо пройти.
Это же уравнение 2-ого порядка. Чтобы траектория совпала, нужно чтобы не только координата, но и скорость совпали.
Вот если перейти в фазовое пространство (здесь 4-мерное), то там будет уравнение первого порядка (уравнение Гамильтона) и там возврат фазовой точки в старое положение означает замыкание.

zykov
Сообщений: 1004
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Моделирование движения в поле 2 тел

Сообщение zykov » 11 июл 2020, 00:14

eugrita писал(а):Source of the post Но ведь есть быстро вращающиеся планеты где это может влиять?

Грубо - можно сравнить период вращения и время полёта. Если время полёта много меньше, то и влияние мало.
Но вообще говоря всё зависит от требуемой точности. Если например ракета летит на дальность 5000км и ей нужно попасть в цель с точностью 100м, то это уже другое дело.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: Bing [Bot] и 3 гостей