Где искать корни секулярного уравнения?
Добавлено: 24 апр 2020, 17:03
Не знаю, относится ли тема больше к физике или к математике, но освежу этот раздел.
В задачах математической физики часто бывает так, что выписывание секулярного уравнения --- даже не полдела, а всего лишь первый шаг. Существенно сложнее бывает сказать, где и как искать его корни. Вот и у меня в задаче о резонаторе с присоединенным волноводом (которой я уже посвятил пару тем) возникла такая проблема. Попытаюсь ее описать.
Имеется резонатор в форме прямоугольного параллелепипеда. Если бы он был заполнен однородно, то резонансные частоты легко бы находились, это расписано в любой книжке. Но у меня он заполнен неоднородно: резонатор разделен на две части плоскостью, параллельной одной из сторон, и в каждой части своя диэлектрическая проницаемость. Такая задача тоже решается, в том смысле, что можно выписать секулярное уравнение. Это уравнение распадается на отдельные уравнения для мод, имеющих разные зависимости в направлениях, параллельных границе раздела диэлектриков (то есть в тех направлениях, по которым сохраняется однородность, решение от соответствующих координат зависит так же, как для резонатора с полностью однородным заполнением). Эти самые куски, на которые распадается секулярное уравнение, имеют вид , а полное секулярное уравнение можно представить как равенство нулю детерминанта диагональной матрицы, составленной из
Цель состоит в том, чтобы найти значения , удовлетворяющих этому уравнению. Переменная вещественна.
Функции устроены довольно просто: они имеют конечное число простых полюсов с положительными вычетами, на остальной части вещественной оси они непрерывны и монотонно убывают. Это дает возможность утверждать, что между каждыми двумя последовательными полюсами функции лежит ровно один корень уравнения , наличие же корней слева и справа от всех полюсов определяется поведением функции на бесконечности. Важно, что положение полюсов и поведение на бесконечности может быть легко вычислено, таким образом, все корни секулярного уравнения оказываются взятыми в вилки.
И вот теперь я подключаю к резонатору волновод. Секулярное уравнение при этом модифицируется: к матрице добавляется симметричная матрица , все элементы которой отрицательны, непрерывны и монотонно убывают
Вопрос: можно ли что-то сказать о расположении корней нового секулярного уравнения? Хочется думать, что корни не могут перепрыгнуть через разрывы, и что должно быть справедливо что-то типа "если между двумя последовательными разрывами невозмущенного уравнения лежали корней, то и для возмущенного уравнения это так". Для частного случая матрицы 2х2 это легко доказать, но нужно разобраться в общем случае.
В задачах математической физики часто бывает так, что выписывание секулярного уравнения --- даже не полдела, а всего лишь первый шаг. Существенно сложнее бывает сказать, где и как искать его корни. Вот и у меня в задаче о резонаторе с присоединенным волноводом (которой я уже посвятил пару тем) возникла такая проблема. Попытаюсь ее описать.
Имеется резонатор в форме прямоугольного параллелепипеда. Если бы он был заполнен однородно, то резонансные частоты легко бы находились, это расписано в любой книжке. Но у меня он заполнен неоднородно: резонатор разделен на две части плоскостью, параллельной одной из сторон, и в каждой части своя диэлектрическая проницаемость. Такая задача тоже решается, в том смысле, что можно выписать секулярное уравнение. Это уравнение распадается на отдельные уравнения для мод, имеющих разные зависимости в направлениях, параллельных границе раздела диэлектриков (то есть в тех направлениях, по которым сохраняется однородность, решение от соответствующих координат зависит так же, как для резонатора с полностью однородным заполнением). Эти самые куски, на которые распадается секулярное уравнение, имеют вид , а полное секулярное уравнение можно представить как равенство нулю детерминанта диагональной матрицы, составленной из
Цель состоит в том, чтобы найти значения , удовлетворяющих этому уравнению. Переменная вещественна.
Функции устроены довольно просто: они имеют конечное число простых полюсов с положительными вычетами, на остальной части вещественной оси они непрерывны и монотонно убывают. Это дает возможность утверждать, что между каждыми двумя последовательными полюсами функции лежит ровно один корень уравнения , наличие же корней слева и справа от всех полюсов определяется поведением функции на бесконечности. Важно, что положение полюсов и поведение на бесконечности может быть легко вычислено, таким образом, все корни секулярного уравнения оказываются взятыми в вилки.
И вот теперь я подключаю к резонатору волновод. Секулярное уравнение при этом модифицируется: к матрице добавляется симметричная матрица , все элементы которой отрицательны, непрерывны и монотонно убывают
Вопрос: можно ли что-то сказать о расположении корней нового секулярного уравнения? Хочется думать, что корни не могут перепрыгнуть через разрывы, и что должно быть справедливо что-то типа "если между двумя последовательными разрывами невозмущенного уравнения лежали корней, то и для возмущенного уравнения это так". Для частного случая матрицы 2х2 это легко доказать, но нужно разобраться в общем случае.