Где искать корни секулярного уравнения?

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Где искать корни секулярного уравнения?

Сообщение peregoudov » 24 апр 2020, 17:03

Не знаю, относится ли тема больше к физике или к математике, но освежу этот раздел.

В задачах математической физики часто бывает так, что выписывание секулярного уравнения --- даже не полдела, а всего лишь первый шаг. Существенно сложнее бывает сказать, где и как искать его корни. Вот и у меня в задаче о резонаторе с присоединенным волноводом (которой я уже посвятил пару тем) возникла такая проблема. Попытаюсь ее описать.

Имеется резонатор в форме прямоугольного параллелепипеда. Если бы он был заполнен однородно, то резонансные частоты легко бы находились, это расписано в любой книжке. Но у меня он заполнен неоднородно: резонатор разделен на две части плоскостью, параллельной одной из сторон, и в каждой части своя диэлектрическая проницаемость. Такая задача тоже решается, в том смысле, что можно выписать секулярное уравнение. Это уравнение распадается на отдельные уравнения для мод, имеющих разные зависимости в направлениях, параллельных границе раздела диэлектриков (то есть в тех направлениях, по которым сохраняется однородность, решение от соответствующих координат зависит так же, как для резонатора с полностью однородным заполнением). Эти самые куски, на которые распадается секулярное уравнение, имеют вид $a_k(x)=0$, а полное секулярное уравнение можно представить как равенство нулю детерминанта диагональной матрицы, составленной из $a_k(x)$

$$ A(x)=\begin{pmatrix} a_1(x)\\&a_2(x)\\&&\ddots\\&&&a_n(x) \end{pmatrix},\quad \det A(x)=0. $$

Цель состоит в том, чтобы найти значения $x$, удовлетворяющих этому уравнению. Переменная $x$ вещественна.

Функции $a_k(x)$ устроены довольно просто: они имеют конечное число простых полюсов с положительными вычетами, на остальной части вещественной оси они непрерывны и монотонно убывают. Это дает возможность утверждать, что между каждыми двумя последовательными полюсами функции $a_k(x)$ лежит ровно один корень уравнения $a_k(x)=0$, наличие же корней слева и справа от всех полюсов определяется поведением функции $a_k(x)$ на бесконечности. Важно, что положение полюсов и поведение на бесконечности может быть легко вычислено, таким образом, все корни секулярного уравнения оказываются взятыми в вилки.

Изображение

И вот теперь я подключаю к резонатору волновод. Секулярное уравнение при этом модифицируется: к матрице $A(x)$ добавляется симметричная матрица $B(x)$, все элементы которой отрицательны, непрерывны и монотонно убывают

$$ \det(A(x)+B(x))=0. $$

Вопрос: можно ли что-то сказать о расположении корней нового секулярного уравнения? Хочется думать, что корни не могут перепрыгнуть через разрывы, и что должно быть справедливо что-то типа "если между двумя последовательными разрывами невозмущенного уравнения лежали $l$ корней, то и для возмущенного уравнения это так". Для частного случая матрицы 2х2 это легко доказать, но нужно разобраться в общем случае.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Где искать корни секулярного уравнения?

Сообщение zykov » 28 апр 2020, 14:13

peregoudov писал(а):Source of the post Вопрос: можно ли что-то сказать о расположении корней нового секулярного уравнения?

Наверно имеется ввиду теория возмущений, так что $||B|| \ll ||A||$.
Если $B$ большая, то кто его знает, куда корни могут уйти...
Для маленькой $B$ должна работать стационарная теория возмущений.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей