Взаимодействие полусфер

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Взаимодействие полусфер

Сообщение peregoudov » 24 янв 2020, 13:56

С какой силой взаимодействуют две равномерно заряженные полусферы разных радиусов с общим центром?

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 24 янв 2020, 20:09

Наверно "в лоб" проинтегрировать.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Взаимодействие полусфер

Сообщение Ian » 25 янв 2020, 14:26

Две полусферы радиусов [math] с общей горизонтальной плоскостью основания
Вертикальная сила при единичной плотности зарядов
[math], где n можно подобрать из соображений размерности а f некая определенная функция одной переменной, при 1 равная бесконечности, на бесконечности убывающая к 0.
Так как она выразилась как интеграл от эллиптической функции, вряд ли элементарна. Можно просто экспериментами протабулировать. Хотя как их оставить равномерно заряженными. Ну численно аккуратненько.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 25 янв 2020, 18:48

Ian писал(а):Source of the post $f$ некая определенная функция одной переменной, при $1$ равная бесконечности

Почему?
При равных радиусах сила вполне конечна.
Это кстати известная задача продвинутого школьного уровня.
Если радиусы равны, то поле внутри сферы равно нулю. Поле снаружи сферы равно полю точечного заряда поставленного в центр. Сила находится через давление поля. (Поле имеет плотность энергии. Если раздвигать полусферы, то изменение энергии легко выражается через плотность.)

Если радиусы разные, то уже нет той центральной симметрии и так легко не сделать. Кривое поле одной полусферы будет действовать на другую полусферу. Интеграл выписать легко, но вряд ли он берется в элементарных функциях.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 25 янв 2020, 22:32

Если $r \ll R$, т.е. маленькая полусфера - это точечный заряд, то сила равна $F = \frac{q_1q_2}{2R^2}$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Взаимодействие полусфер

Сообщение peregoudov » 27 янв 2020, 16:49

Вы, наверное, не поняли: полусферы ориентированы произвольно, а вовсе не с "общей плоскостью основания". Задача решается без интегрирования (и в этом смысле она вполне школьная), но рассуждения довольно хитрые.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 30 янв 2020, 00:49

zykov писал(а):Source of the post Если $r \ll R$, т.е. маленькая полусфера - это точечный заряд, то сила равна $F = \frac{q_1q_2}{2R^2}$.

Для одинаковых полусфер (дополняющих половин одной сферы) такое же значение.
Попробовал численно посчитать интегралы для полусфер с общей осью (общей плоскостью оснований) - с точностью $10^{-6}$ получается, что сила не зависит от радиуса маленькой полусферы.
Любопытно. Не вижу, почему так могло бы быть...

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Взаимодействие полусфер

Сообщение peregoudov » 30 янв 2020, 16:26

А что мешает численно посчитать общий случай, когда оси симметрии полусфер направлены под произвольным углом?

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 30 янв 2020, 20:56

peregoudov писал(а):Source of the post А что мешает численно посчитать общий случай

Вычислительная сложность.
Это интеграл по двум поверхностям, т.е. интеграл по 4-мерной области.

В случае общей оси, в целом картина осесимметрична. Четвертый интеграл - интеграл вокруг оси - становится тривиальным (подинтегральное выражение не зависит от угла поворота) и вылетает. Третий интеграл (другой, который вокруг оси) тоже удалось упростить. Там можно множитель независящий от угла вынести из под корня и далее за пределы интегрирования. Получается, что интеграл зависит только от одного параметра. Я этот интеграл затабулировал по этому параметру ($10^4$ точек), так что точность интерполяции получилась $10^{-6}$. Понятно, что интерполяцию сделать гораздо быстрее, чем считать сам интеграл. Так что остается только интеграл по 2-мерной области. По одному углу 1000 точек, по другому тоже 1000 точек - точность выходит $10^{-6}$. И считает эти $10^6$ итераций достаточно быстро - 1-2 минуты.

А для 4 измерений? Можно взять по 10 точек, но точность будет крохотная. Взять по 100 точек? Это уже $10^8$ итераций. Дождатся можно, но всё равно точность будет так себе. А взять по 1000 точек, так это два года считать нужно на настольном компьютере. Суперкомпьютер быстро посчитал бы, но у меня нет к нему доступа.
Последний раз редактировалось zykov 31 янв 2020, 03:13, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 31 янв 2020, 03:13

Впрочем считать нет необходимости.
Несложно показать из симметрии, что при повороте вокруг центра суммарная сила не изменится. Только появится момент силы.

Пусть у нас есть полусфера $x^2+y^2+z^2=1$ и $z<0$, равномерно заряженная с суммарным зарядом $1$.
Напряженность поля этой полусферы будет осесимметричной (переходит в себя при любом повороте вокруг оси, а так же при отраженнии в плоскости проходящей через ось). Значит вектор напряженности имеет только две компоненты - радиалную ($E_r$) и вдоль оси $Z$ ($E_z$).
Пусть в какой-то точке внутри единичного шара напряженность $E_{r1}$ и $E_{z1}$, а в другой зеркально симметричной относительно плоскости $XY$ точке напряженность $E_{r2}$ и $E_{z2}$. Рассмотрим поле второй полусферы ($z>0$). Т.к. она зеркально симметрична первой полусфере, то и её поле зеркально симметрично. Так например поле второй полусферы в первой точке будет $E_{r2}$ и $-E_{z2}$.
Суммарное поле двух полусфер - это поле полной сферы. Внутри единичного шара оно равно нулю. Значит $E_{r1}+E_{r2}=0$ и $E_{z1}-E_{z2}=0$.

Теперь добавим другую меньшую полусферу с тем же основанием ($AB$) и затем её повернем ($A_1B_1$).
sph.png
sph.png (4.83 KiB) 10044 просмотра

Отсюда видно, что при повороте суммарная сила не изменилась.
Из симметрии, радиальная сила на сектор $BB_1$ равна по абсолютной величине и направлена в обратную сторону от силы на сектор $BC$. В то же время, продольная сила (вдоль $Z$) на сектор $BB_1$ равна силе на сектор $BC$.
С другой стороны, радиальная сила на сектор $AA_1$ равна по абсолютной величине и направлена в обратную сторону от силы на сектор $BC$. И, продольная сила на сектор $AA_1$ равна силе на сектор $BC$.
Значит полная сила на сектор $BB_1$ равна полной силе на сектор $AA_1$. Т.е. полная сила на полусферу $A_1B_1$, такая же как и на полусферу $AB$.
Единственное, что момент силы добавился. Момент силы на сектор $A_1C$ равен нулю. А момент силы на сектор $CB_1$ уже ненулевой.


Правда пока не понятно, как доказать, что сила на маленькую полусферу с тем же основанием не зависит от её радиуса. Здесь симметрия ничего не даёт.

guryev
Сообщений: 3
Зарегистрирован: 25 дек 2019, 15:04

Взаимодействие полусфер

Сообщение guryev » 31 янв 2020, 14:33

Итак, zykov показал, что сила, действующая на малую полусферу, не зависит от угла между плоскостями оснований полусфер.

Пусть, для определённости, плоскости оснований полусфер совпадают. Тогда неважно, находится ли малая полусфера внутри большой, или снаружи - разницы нет, сила одинакова. Берём две малых полусферы, с одной и той же плоскостью основания, каждая с половинным зарядом, одна внутри, другая снаружи большой - опять на них действует та же суммарная сила.

Но две эти полусферы образуют одну сферу. И на неё действует та же сила. Значит, на малую полусферу действует такая же сила, которая бы действовала на сферу с тем же зарядом и радиусом.

Значит, (по третьему закону Ньютона) малая полусфера действует на большую с такой же силой, как действовала бы равномерно заряженная сфера. А равномерно заряженная сфера действует так же, как точечный заряд.

Отсюда и исчезновение зависимости силы от радиуса малой полусферы, и т.д.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 31 янв 2020, 20:15

Верно. Совсем немного оставалось.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Взаимодействие полусфер

Сообщение zykov » 02 фев 2020, 01:20

zykov писал(а):Source of the post Значит полная сила на сектор $BB_1$ равна полной силе на сектор $AA_1$. Т.е. полная сила на полусферу $A_1B_1$, такая же как и на полусферу $AB$.

Можно даже немного короче сделать.
Полусферы не только зеркально симметричны, но и центрально симметричны. Так что вектора напряженности поля одной полусферы внутри шара в центрально симметричных точках равны друг другу (т.к. при отражении одного из них, его сумма с другим равна нулю). Отсюда сразу получаем, что полная сила на сектор $BB_1$ равна полной силе на сектор $AA_1$, т.к. они центрально симметричны друг другу.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей