Расчет резонаторов с потерями

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение peregoudov » 31 окт 2019, 20:46

Тут мои нефтяники пытаются разрабатывать некий физический прибор, призванный определять, что в него налито ;) Определять предполагают по диэлектрической проницаемости, точнее --- по резонансной кривой.

И возник у них вопрос, а как, собственно, связана диэлектрическая проницаемость налитого (в общем случае комплексная и диспергирующая) с параметрами резонанса --- резонансной частотой и полушириной, с учетом того, что и сам резонатор не вполне идеальный, стенки имеют конечную проводимость.

В "отпаянном" варианте имеем просто полость внутри проводника, заполненную диэлектриком. В "проточном" варианте все это сидит на трубе, и там есть дополнительные вопросы.

Я нашел книжку

А. С. Ильинский, Г. Я. Слепян "Колебания и волны в электродинамических системах с потерями". М.: Изд. МГУ, 1983.

Там излагается некий метод расчета, основанный на разложении по собственным функциям пустого резонатора с идеально проводящими стенками. При этом авторы делают какие-то странные утверждения про полноту и ортогональность, а также про какие-то потенциальные функции (ссылка на страничку). Сами они ничего не доказывают, а ссылаются на книжку

В. В. Никольский "Электродинамика и распространение радиоволн". М.: Наука, 1974.

Однако там тоже никакого доказательства нет (ссылка на страничку).

И первый вопрос будет такой: что вообще известно о задаче на собственные значения для уравнений Максвелла в случае полых идеальных резонаторов? Естественно, когда она не сводится к скалярным задачам для уравнения Лапласа --- тут-то все описано в стандартных курсах матфизики.

А второй вопрос будет про трубу (открытый резонатор): как быть, если собственных колебаний вообще нет, даже в пустом идеальном резонаторе?

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение Ian » 02 ноя 2019, 10:25

peregoudov писал(а): При этом авторы делают какие-то странные утверждения про полноту и ортогональность
Обычно математики ссылаются на теорему Гильберта-Шмидта:Собственные функции 1)симметричного 2)компактного оператора в гилбертовом пространстве образуют ПОНС. Компактным является интегральный оператор, а если ядро симметричное (/эрмитово-), то и он. А здесь можно ли уравнения представить как интегральные?(совершенно не знаю тему)

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение peregoudov » 02 ноя 2019, 19:15

Хороший вопрос! Есть достаточно стандартный метод сведения дифференциальных уравнений в области к интегральным на границе (всякие там теоремы представления, потенциалы простого и двойного слоев), но в стандартных курсах матфизики все это излагается для скалярных уравнений. Ну то есть если бы у нас была задача на собственные значения оператора Лапласа в области, то проблем бы не было. В принципе, стационарного Максвелла можно свести к Лапласу для отдельных декартовых компонент, скажем, вектора E. (Правда, тогда надо отдельно добавлять условие, что он имеет еще и нулевую дивергенцию.) Но граничные-то условия ставятся не для декартовых компонент, а для касательных к границе! Тут-то все и запутается.

В общем, я попробую этот путь. Но разве все результаты по неограниченным операторам в конечном итоге сводятся к Гильберту---Шмидту? Разве нет независимой теории неограниченных операторов? Или каких-то конкретных исследований операторов, встречающихся в матфизике?

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение peregoudov » 02 ноя 2019, 20:36

Хотя я, наверное, вру. Я знаю, как свести уравнение в области к уравнению на границе, а нам ведь надо свести задачу на собственные значения...

Давайте я просто напишу, что я знаю для Лапласа. Пусть есть задача на собственные значения для уравнения Лапласа в области $G$

$$ \Delta\phi=\lambda\phi $$

с граничным условием на границе $\partial G$

$$ (\nabla\phi)_n=0. $$

Элементарным интегрированием по частям доказывается равенство

$$ \int_G(\psi\Delta\phi-\phi\Delta\psi)\,d^3r=\int_{\partial G}(\psi(\nabla\phi)_n-\phi(\nabla\psi)_n)\,dS. $$

Если взять в качестве $\psi$ фундаментальное решение уравнения Гельмголца

$$ \psi=e^{r\sqrt\lambda}\!/r, $$

то получаем представление для $\phi$

$$ 4\pi\phi({\bf r})=-\int_{\partial G}\left(\nabla'\frac{e^{\sqrt\lambda|{\bf r}-{\bf r}'|}}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\right)_{n'}\phi({\bf r}')\,dS', $$

откуда, опуская $\bf r$ на границу, получаем интегральное уравнение (учтен скачок потенциала двойного слоя)

$$ 2\pi\phi({\bf r})=-\int_{\partial G}\left(\nabla'\frac{e^{\sqrt\lambda|{\bf r}-{\bf r}'|}}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\right)_{n'}\phi({\bf r}')\,dS'. $$

Если же взять в качестве $\psi$ фундаментальное решение уравнения Лапласа, то получим

$$ 4\pi\phi({\bf r})+\lambda\int_G\frac{\phi({\bf r}')\,d^3r'}{|{\bf r}-{\bf r}'|}=-\int_{\partial G}\left(\nabla'\frac1{|{\bf r}-{\bf r}'|}\right)_{n'}\phi({\bf r}')\,dS'. $$

Все не то... А вот если бы у нас была не задача на собственные значения, а уравнение Пуассона с известной правой частью

$$ \Delta\phi=f, $$

то, как это написано в любом стандартном курсе, мы бы свели ее к интегральному уравнению на границе

$$ 2\pi\phi({\bf r})+\int_G\frac{f({\bf r}')\,d^3r'}{|{\bf r}-{\bf r}'|}=-\int_{\partial G}\left(\nabla'\frac1{|{\bf r}-{\bf r}'|}\right)_{n'}\phi({\bf r}')\,dS'. $$

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение Ian » 03 ноя 2019, 19:12

peregoudov писал(а):Но разве все результаты по неограниченным операторам в конечном итоге сводятся к Гильберту---Шмидту?
Ну я же не знал что максвелла-неограниченный. Где-то слышал мельком
Разве нет независимой теории неограниченных операторов?
Есть, но такое впечатление, что больше на западе популярна , чем в России
Или каких-то конкретных исследований операторов, встречающихся в матфизике?
Обязаны быть.
Но я еще не все мысли сказал. Если оператор имеет ПОНС, значит диагонализируемую матрицу. Если к тому же все собственные числа действительны, то он самосопряжен (~симметричен) Это можно прямо доказать. Если нет, то хотя бы нормален,имеет спектральное разложение. Может быть и неограниченным, если собственные числа стремятся к бесконечности.Неограниченность пока ни на что не влияет. Наверное надо угадать оператор, о котором говорят авторы. Зря они не указали четко, человек с математической культурой не забыл бы.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение peregoudov » 04 ноя 2019, 14:21

Как это не указали четко?
peregoudov писал(а):Source of the post задаче на собственные значения для уравнений Максвелла в случае полых идеальных резонаторов
--- вот это и есть четкое указание оператора. А в явном виде --- первые две ненумерованные формулы на стр. 73 в первом скане, либо формулы (69.14), (69.15) во втором.

Имеем уравнения

$$ \nabla\times{\bf B}=-\frac{i\omega}c{\bf E},\quad \nabla\times{\bf E}=\frac{i\omega}c{\bf B} $$

в области $G$ с (для простоты) гладкой границей $\partial G$, на которой

$$ E_\tau=0,\quad B_n=0. $$

Они как-то странно $B_n=0$ опускают, может быть, оно действительно из $E_\tau=0$ следует?

Во втором варианте исключаем $\bf B$, тогда в области

$$ \Delta{\bf E}=-\frac{\omega^2}{c^2}{\bf E},\quad \nabla{\bf E}=0, $$

а на границе

$$ E_\tau=0,\quad (\nabla\times{\bf E})_n=0. $$

Опять они второе граничное условие почему-то опускают.

Для скалярного оператора Лапласа, то есть для уравнения

$$ \Delta\phi=-\frac{\omega^2}{c^2}\phi $$

с граничным условием либо $\phi=0$ либо $(\nabla\phi)_n=0$ (так называемые лапласианы Дирихле и Неймана) известно, что оператор самосопряжен, спектр целиком дискретный, и даже асимптотика собственных значений в общем случае вычислена.

Но задача после исключения $\bf B$ не распадается на три скалярные задачи.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение peregoudov » 12 ноя 2019, 10:55

Ну так как с самосопряженностью?

Вот, допустим, в постановке с системой уравнений первого порядка. Вводим столбец $({\bf E},{\bf B})$, тогда оператор представляется матрицей

$$ AX=\frac\omega cX,\quad A=\begin{pmatrix} 0&i\nabla\times{}\\ -i\nabla\times{}&0 \end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix} \bf E\\ \bf B \end{pmatrix} $$

В компонентной записи $A_{ib,kd}=i\varepsilon_{bd}\varepsilon_{ijk}\partial_j$, в явной матричной записи

$$ A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&-i\partial/\partial z&i\partial/\partial y\\ 0&0&0&i\partial/\partial z&0&-i\partial/\partial x\\ 0&0&0&-i\partial/\partial y&i\partial/\partial x&0\\ 0&i\partial/\partial z&-i\partial/\partial y&0&0&0\\ -i\partial/\partial z&0&i\partial/\partial x&0&0&0\\ i\partial/\partial y&-i\partial/\partial x&0&0&0&0 \end{pmatrix}. $$

Оператор $A$ формально симметричный

$$ \int_G Y_{ib}^*(A_{ib,kd}X_{kd})\,d^3r=\int_{\partial G} Y_{ib}^*i\varepsilon_{bd}\varepsilon_{ijk}X_{kd}n_j\,dS +\int_G (A_{kd,ib}Y_{ib})^*X_{kd},d^3r. $$

Поверхностный член равен

$$ i\int_{\partial G}[({\bf E}_Y^*\times{\bf n}){\bf B}_X+({\bf E}_X\times{\bf n}){\bf B}_Y^*]\,dS $$

и обращается в нуль в силу граничного условия $E_\tau=0$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Расчет резонаторов с потерями

Сообщение peregoudov » 20 дек 2019, 18:25

Что-то я туплю не по детски. Хотел рассчитать возбуждение волновода круглого сечения, в который коаксиально вставлен отрезок волновода меньшего радиуса. Пока что для пустого, без заполняющей среды, волновода с идеально проводящими стенками. Общее решение (для заданной частоты) как для цилиндрического волновода, так и для волновода в виде цилиндрического слоя нетрудно получить. Для простоты можно даже рассматривать аксиально-симметричный и зеркально-симметричный относительно среднего сечения вставки случай (в этом среднем сечении будет лежать источник возбуждения --- аксиально-симметричная токовая петля). А дальше нужно сопрячь три решения в отдельных областях на сечении, проходящем через край вставки. Вроде бы условия сопряжения очевидны: непрерывность электрического и магнитного полей. Проблема в том, что это дает шесть условий, а в общем решении всего четыре коэффициента: амплитуды так называемых TE- и TH-волн, распространяющихся вдоль волновода в противоположных направлениях. (В моем случае все немного проще, возбуждается только TE-волна, но все равно получается 3 условия на 2 коэффициента.) Казалось бы, одно из условий должно оказаться следствием двух других, но этого не происходит. У кого-нибудь есть идеи, как это преодолеть?


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей