Парадокс с кеплеровыми орбитами

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение peregoudov » 12 май 2017, 21:08

Один альт придумал, но парадоксик забавный, кидаю для развлечения.

Если поднять камень на некоторую высоту над Землей и отпустить без начальной скорости, он полетит к центу Земли и, если бы мог пролететь через нее (ну, канал там узенький просверлен, если угодно), вылетит с другой стороны, поднимется на ту же высоту, а потом вернется обратно к нам. Причем это не зависит от радиуса Земли, так что можно вообще сжать ее в точку.

А вот теперь, если мы придадим камню хоть малейшую орбитальную скорость (в направлении, перпендикулярном направлению на Землю), то траектория станет совершенно иной: это будет эллипс с апогеем в исходной точке и перигеем где-то вблизи Земли, в пределе дважды короче, чем траектория прямого пролета. И парадокс, собственно, в том, что при малом изменении начальных условий так вот скачком меняется траектория.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение zykov » 13 май 2017, 08:31

Ну так он ввёл дельта функцию и получил скачок. Ничего удивительного (смотри например интеграл от дельта функции).
При конечных размерах всё будет плавно, соответственно этим размерам.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение peregoudov » 15 май 2017, 18:30

Ну, собственно, о том и задачка, чтобы понять, как оно плавно одно в другое переходит.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение zykov » 15 май 2017, 18:46

Ну оно довольно очевидно.

Чтобы не отвлекатся на столкновения, можно просто рассмотреть центральное поле и точечное тело в этом поле. За радиусом [math] напряженность поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра. В пределах радиуса растёт линейно от нуля.

Если начнём уменьшать скорость в верхней точке орбиты, то орбита будет оставатся эллипсом, нижняя точка которого будет приближатся к центру, пока орбита целиком находится вне радиуса [math]. В какой-то момент орбита коснётся этого радиуса в своей нижней точке и потом (при уменьшении начальной скорости) войдёт в эту область. Поле в этой области слабее, чем было бы для обратноквадратичного. Значит оно отклонит скорость меньше. Значит орбита уже не будет замкнутой. Верхняя точка сместится и будет сдвигатся на каждом витке. Тем больше сдвигатся, чем меньше начальная скорость.

Если значительно уменьшить начальную скорость, то тело сначала пойдёт по узкому эллипсу, пока не попадёт в область внутри [math]. При обратно-квадратичном поле внутри [math] тело бы испытвало большую силу и сильно отклонилось (т.е. продолжило бы идти по эллипсу вблизи центра). Но у нас поле слабое вблизи центра, поэтому тело почти не отклонится и проскочит эту область почти напрямую. За пределом этой области будет двигатся опять по узкой эллиптической орбите, но это уже другой эллипс с верхней точкой примерно с противоположенной стороны от начальной верхней точки.
Так, если довести начальную скорость до нуля, то эти узкие эллипсы сожмутся в прямые участки падения на центр и отлёта от него.

PS: наглядней было бы с картинкой, но нет на это времени.

zam2
Сообщений: 1
Зарегистрирован: 18 апр 2017, 09:55

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение zam2 » 17 май 2017, 07:07

Нельзя сжать Землю в точку. Получается совсем другая задача.
При полёте в тоннеле центральная сила пропорциональна радиусу.
В случае материальной точки сила обратно пропорциональна квадрату радиуса.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение zykov » 17 май 2017, 07:21

Тут имеется ввиду, что поведение "пролёт через центр, вылет с другой стороны на такое же расстояние, и обратно" не зависит от радиуса. При сколь угодно маленьком радиусе будет такое же поведение (только время пролёта чуть изменится).

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Парадокс с кеплеровыми орбитами

Сообщение peregoudov » 23 май 2017, 18:41

Ну да, переход одного в другое происходит за счет "размыкания" орбиты, после чего вторая половинка орбиты совершит поворот на 180 градусов.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей