Циклические уравнения

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Циклические уравнения

Сообщение Ian » 19 июл 2019, 07:23

Дано [math] попарно не равные действительные числа, но
[math]
Какие значения может принимать [math] ?
(со вступительного экзамена)
- - -
Части решения (может не пригодятся)
1)[math] не могут быть все положительны. Пусть эти числа написаны по окружности по часовой стрелке. отметим какое максимально и какое минимально. Если за max по часовой идет min, то max+1/min максимальная сумма из трех и равенства быть не может. Иначе за min по часовой идет max и min+1/max минимальная сумма из трех.
2)Если [math] решение системы, то и [math] решение системы, значит искомое множество симметрично относительно 0, и можно искать только [math]
....

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Циклические уравнения

Сообщение peregoudov » 19 июл 2019, 12:02

А если тупо параметрически?

$$ x+1/y=\lambda,\quad y+1/z=\lambda,\quad z+1/x=\lambda $$

и выразить все через $\lambda$. У меня для $y$ получается квадратное уравнение $y^2-\lambda y+1=0$.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Циклические уравнения

Сообщение peregoudov » 19 июл 2019, 12:33

Ian писал(а):Source of the post 1)x,y,z не могут быть все положительны.
Это еще почему? x=y=z --- уравнения удовлетворяются тождественно при любом x. Соответственно, и xyz любое и ничего выражать не надо :lol:

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Циклические уравнения

Сообщение Ian » 19 июл 2019, 13:16

peregoudov писал(а):
Ian писал(а):Source of the post 1)x,y,z не могут быть все положительны.
Это еще почему? x=y=z --- уравнения удовлетворяются тождественно при любом x. Соответственно, и xyz любое и ничего выражать не надо :lol:
При условии что они не равны -не могут быть положительны. Вот так наворочено(

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Циклические уравнения

Сообщение Ian » 19 июл 2019, 13:23

peregoudov писал(а):А если тупо параметрически?

$$ x+1/y=\lambda,\quad y+1/z=\lambda,\quad z+1/x=\lambda $$

и выразить все через $\lambda$. У меня для $y$ получается квадратное уравнение $y^2-\lambda y+1=0$.
А тогда и для z и для x такое же. Значит они могут принимать макс. 2 значения и трех попарно неравных - быть не могло бы. Но Вы еще один случай пропустили, который и будет основной ветвью решения....

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Циклические уравнения

Сообщение zykov » 20 июл 2019, 19:22

При $\lambda=1$ и при $x>0,y>0,z<0$ для любого $0<x<1$ будет $y=\frac{1}{1-x}$ и $z=1-\frac{1}{x}$.
Остальные 5 (кроме $x>0,y>0,z<0$) получаются циклическими перестановками и отражением знака.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Циклические уравнения

Сообщение zykov » 20 июл 2019, 21:04

Они попарно не равны друг другу, т.к. $z<0, 0<x<1, y>1$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Циклические уравнения

Сообщение Ian » 21 июл 2019, 11:31

Вот именно, спасибо!
peregoudov писал(а):У меня для $y$ получается квадратное уравнение $y^2-\lambda y+1=0$.

Точнее [math] и оказывается [math] и есть основная ветвь
___
Я приведу и свое решение для случая произвольных коэффициентов, наша система получается из нее обезразмериванием
[math]
[math]
Перемножим все
[math]
[math]
Это был тест в СибГИУ (Новокузнецк) на заочное, [math] менялись по вариантам. Но кажется эту задачу не решил никто.
Хотя теперь оказывается, шансы у них были.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 8 гостей