Олимпиады МФТИ

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Олимпиады МФТИ

Сообщение Ian » 09 май 2019, 10:21

Известный прием взятия дифференциала модуля. Пусть r -радиус-вектор переменной точки. Тогда
[math]- то есть в точке минимума суммы модулей сумма единичных векторов к точкам a,b,c должна быть равна 0 (точка Штейнера)(*либо один из модулей равен 0, но это неактуально нам)
Явно этот же прием используется в 1-м решении задачи 3, но как бы поподробнее это написать, что за производная там берется и чему равна?
2018-05-sol_copy.pdf
(134.21 KiB) Загружено 605 раз

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 12 май 2019, 04:24

Ian писал(а):Source of the post Явно этот же прием используется в 1-м решении задачи 3, но как бы поподробнее это написать, что за производная там берется и чему равна?

Возмем радиус вектор, конец которого движется. (В физике часто встречается, когда работаем в полярных координатах.)
Движение конца (скорость или дифференциал) можно разложить по двум направлениям - вдоль вектора и перпендикулярно ему.
Первое даст изменение длины вектора - $d|r|=(\vec{e_1},\vec{dr})$.
Второе даст изменение угла - $|r|d\phi=(\vec{e_2},\vec{dr})$.
Если оба конца движутся, то изменение длины будет просто равно сумме таких изменений для обоих концов.

В задаче 3 нужно найти изменение суммы длины всех отрезков. Можно написать внешнюю сумму по отрезкам, а внутреннюю по двум концам отрезка (получается непосредственно из того что суммарная длина равна сумме длин отрезков).
А можно эти слагаемые перегрупировать - внешнюю сумму по вершинам, а внутреннюю по всем отрезкам из этой вершины.
Тогда вклад данной вершины $j$ в изменение суммарной длины будет $dl_j=\sum_i (\vec{e_{ij}},\vec{dr_j})=(\sum_i \vec{e_{ij}},\vec{dr_j})$.
По условию задачи $\sum_i \vec{e_{ij}}=\vec 0$.
Последний раз редактировалось zykov 12 май 2019, 05:05, всего редактировалось 2 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 12 май 2019, 04:32

У любого физика от зубов отскакивает $\dot r = (\vec{e_1},\vec{v})$ и $r\dot\phi = (\vec{e_2},\vec{v})$.
(Polar coordinate system.)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Олимпиады МФТИ

Сообщение Ian » 12 май 2019, 08:43

zykov писал(а):Если оба конца движутся, то изменение длины будет просто равно сумме таких изменений для обоих концов.
Наверное, правда. Но как это строго доказать математически.Я на этом и застрял. Ведь каждая формула выводилась в предположении неподвижности другого конца

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 12 май 2019, 13:23

Ian писал(а):Source of the post Но как это строго доказать математически

Обычная векторная алгебра:
$d(\vec{r_1}-\vec{r_2})^2=2(d\vec{r_1}-d\vec{r_2})\cdot(\vec{r_1}-\vec{r_2})=2(d\vec{r_1}-d\vec{r_2})\cdot r \cdot \vec{e_r}=$
$=2r \cdot ((\vec{e_r},d\vec{r_1})+(-\vec{e_r},d\vec{r_2}))$

с другой стороны $d(\vec{r_1}-\vec{r_2})^2=d(r^2)=2r\cdot dr$
(где $r=|\vec{r_1}-\vec{r_2}|$, а $\vec{e_r}$ - единичный вектор в направлении от $\vec{r_2}$ к $\vec{r_1}$, т.е. $\vec{e_r}=(\vec{r_1}-\vec{r_2})/r$)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Олимпиады МФТИ

Сообщение Ian » 12 май 2019, 16:25

Спасибо!
На сегодняшней олимпиаде МФТИ вот такая была.
4. Пусть [math] Найти значение интеграла
[math] в зависимости от [math]

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 13 май 2019, 06:23

Ian писал(а):Source of the post 4. Пусть [math] Найти значение интеграла
[math] в зависимости от [math]

Вольфрам выдал для $n=2,3,4$ везде $\pi$.
Так что нужно доказать, что этот интеграл независимо от $n$ всегда равен $\pi$.

Думаю, это вполне можно сделать "в лоб" обобщив один из методов вычисления интеграла [math].
Например, наверно обощение Feynman's trick должно сработать. Но выйдет громоздко и не по олимпиадному.

Короче это сделать через преобразование Фурье, исходя из следующих трёх фактов:
Факт 1: Интеграл функции от минус бесконечности до плюс бесконечности равен значению её Фурье образа при нулевой частоте (с точностью до коэффициента, в зависимости от выбранной формы преобразования Фурье).
Например, если $F[f(x)](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot e^{-i\omega x} \; dx$, то $F[f(x)](0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot e^{-i 0 x} \; dx=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx$.
Т.е. это просто нулевая гармоника.
Факт 2: Фурье образ произведения функций равен свертке Фурье образов этих функций (Convolution theorem).
Факт 3: Функция $sinc(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ является Фурье образом прямоугольного импульса (функции, которая равна 1 от -0.5 до 0.5, и равна 0 за пределами этой области). Это хорошо известно в физике и особенно в радиотехнике. Так же верно и обратное, что Фурье образом этой функции будет прямоугольный импульс. Всё это тоже с точностью до коэффициента и в зависимости от выбранной формы преобразования Фурье.

Детали не буду расписывать. Это дело техники. Главное с коэффициентами не напутать.
Только на википедии дают три разных нотации преобразования Фурье (Other conventions).
Кратко, основная идея такая:
Искомый интеграл равен нулевой гармонике Фурье образа функции $f_n(x)=\prod_{k=1}^n \frac{\sin(a_k x)}{a_k x}$.
Этот Фурье образ равен свёртке Фурье образов множителей в этом произведении.
Фурье образ множителя $\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}$ - это прямоугольный импульс. При этом k-ый импульс будет в $a_k$ раз уже и выше (в 2, 4, 8 и т.д. раз), чем первый импульс (площадь у всех прямоугольников одинаковая).
Свёртка некоторой функции и прямоугольного импульса - это просто усреднение этой функции в интервале равном ширине импульса. Если функция была константой в этом интервале, то и усреднение даст то же значение, что и было.

Так например свертка прямоугольного импульса с собой же даст треугольный импульс.
Для образа $f_2$ мы тоже делаем свертку двух прямоугольных импульсов, но тут они у нас разной ширины. Второй в два раза уже первого. В результате получим трапецию такой же высоты, как и был наш прямоугольник. Ширина "верхней крышки" этой трапеции будет $1-1/2=1/2$ от ширины первого прямоуголька.

Далее, для образа $f_3$ мы делаем свертку этой трапеции и следующего прямоугольника с шириной $1/4$ от начальной. Усреднение даст нам опять в центре плоскую крышку с шириной $1/2-1/4=1/4$. За пределами этой области будут куски многочленов второй степени, но это нам уже не важно.

Для $f_4$ в центре будет плоская крышка той же высоты с шириной $1/4-1/8=1/8$, и т.д..
Вобщем получим, что для любого $n \geq 2$ образ функции $f_n$ имеет около нуля небольшую плоскую крышку той же высоты, что и начальный прямоугольник (образ функции $f_1$).
Значит величина этих образов в нуле (нулевая гармоника) одинакова, значит и искомый интеграл не зависит от $n$ и равен [math].

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Олимпиады МФТИ

Сообщение Ian » 13 май 2019, 08:11

А, понятно, ряд из [math] сходится к числу, не большему двух, а то будет как здесь https://habr.com/ru/post/146140/
Вот еще была.
5. Пусть кривая [math], проходящая по поверхности n-мерного куба [math] соединяет две противоположные точки на поверхности этого куба. Докажите, что ее длина не менее 2.
Я думаю так. Пусть на кривой есть точка на расстоянии менее 1 (расстояние меряем по поверхности) от каждой из точек, рассмотрим, на какой она грани. Единичный шар в выбранной метрике поверхности , пересеченный с этой гранью -это объединение некоторого конечного числа евклидовых шаров, пересеченное с этой гранью ( с центрами в образах начальной точки при всевозможных развертках) И получим, что из двух шаров в новой метрике возникает некая симметричная (на плоскости грани) картинка, только бы найти ее центр. Он смещен от центра грани на вектор такой же длины, что и вектора смещений крайних точек кривой от центров их граней, но 1) куда 2)если два симметричных "шара в метрике" пересекаются, то только границами, но почему именно в центре симметрии.3) это 2й курс и глубоко в функан нельзя.
PS. А тем временем час назад появились решения от жюри. У этой 5й оно вовсе не такое, а у 4й действительно через Фурье.
2019-05-sol_copy.pdf
(157.05 KiB) Загружено 637 раз

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 16 май 2019, 07:24

Ian писал(а):Source of the post У этой 5й оно вовсе не такое

Интересно, какое у них решение по 5ой?

Вроде факт очевидный. Но как-то строго доказать не получается.
У меня вот такие рассуждения. Вроде доходчиво, но все равно как-то "на пальцах".
Пусть эти симметричные точки лежат на противоположенных гранях. Если они лежат на ребрах/вершинах, то можно выбрать грани прилегающие к этим ребрам/вершинам, чтобы они были противоположены друг другу. Назовем одну из этих граней верхней, вторую нижней, а все остальные боковыми.
Тогда поверхность n-мерного куба можно разложить в (n-1)-мерную фигуру.
Так трехмерный куб раскладывается в плоскую фигуру. В центре верхняя грань. Через рёбра к ней прилегают боковые грани. Здесь через центр ребра проведем ось перпендикулярно ребру. Дальше вдоль оси, ещё через ребро будет нижний квадрат - четыре его копии.
Аналогично, четырёхмерный куб раскладывается в трехмерную фигуру. В центре верхняя грань - 3-мерный куб. В стороны от него шесть боковых кубов. За ними шесть копий нихнего куба.
И т.д. для любого количества измерений.

Симметричная точка с нижней грани будет сдвинутой на расстояние ровно 2 вдоль по оси от точки на верхней грани и будет отраженной через эту оси от верхней точки. Кратчайшее расстояние между этими точками будет по прямой. Значит это расстояние не менее 2 (гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом длины 2).

Для трёхмерного куба минмиальным расстоянием будет растояние от верхней до одной из четырёх нижних (в силу симметрии там две одинаковых пары).
Для четырёхмерного куба минмиальным расстоянием будет растояние от верхней до одной из шести нижних (в силу симметрии там три одинаковых пары).
И т.д.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 16 май 2019, 07:50

Вот картинка для разворота поверхности трехмерного куба в плоскую фигуру:
Qube_sym.png
Qube_sym.png (3.63 KiB) 21338 просмотра

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Олимпиады МФТИ

Сообщение Ian » 16 май 2019, 15:05

могут быть неплохие пути, пересекающие не 2 ребра, а 3, тогда и развертки будут другие

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 16 май 2019, 15:33

Ian писал(а):Source of the post могут быть неплохие пути, пересекающие не 2 ребра, а 3

Да. Поэтому я и говорю - "на пальцах".
Но очевидно, через три ребра заведомо длиннее, чем через два

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиады МФТИ

Сообщение zykov » 16 май 2019, 15:55

На рисунке красный путь заведомо длиннее зелёного.

Qube_sym_1.png
Qube_sym_1.png (10.02 KiB) 21329 просмотра


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей