Забавное тождество

[Ian]

Доказать[math]\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n!(-1)^{k+2}}{k!(n-k-1)!}\cdot\frac{1}{h^{2}+2(k+1)}=\frac{n!}{2}\prod_{k=1}^{n}\frac{2}{h^{2}+2k}

[peregoudov]

Есть стандартный прием: обозначаем



Тогда , , а нам нужно . Решаем уравнение и получаем



что и дает стоящее справа произведение.

[Ian]

Красиво, спасибо!
Я рассматривал это как тождество относительно [math]z=h^2 и надумал еще 2 способа.
Первое , что пришло в голову -левая часть уже представляет собой сумму простейших дробей, а правая - разлагается в линейную комбинацию таких же простейших дробей. Чтобы доказать равенство коэффициентов при [math](z+2m)^{-1}(вычетов), достаточно умножить правую часть на [math]z+2m и подставить [math]z=-2m, сразу все видно. Способ плох тем, что использует знание ответа.
Зато если умножить левую часть на общий знаменатель,в получившейся сумме можно усмотреть интерполяционный полином Лагранжа константы, построенный по точкам[math]-2,...-2n и он, естественно, равен самой этой константе

[peregoudov]

Да, с вычетами тоже хорошо. Я так в свое время быстрее всех раскладывал рациональные функции на простейшие дроби, вместо скучного метода неопределенных множителей.