Здравствуйте.
Давно не была на вашем форуме, но вот потребовалась помощь. 14 задач из 15 сделала, а вот к последней не знаю как подступиться.
Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадут все 6 граней. Найти матожидание числа бросков.
Буду благодарна за любую идею.
Матожидание числа бросков
Матожидание числа бросков
Этот процесс можно разбить на 6 независимых, последовательных процессов - выпадение нового значения, которого ещё не было.
В первый раз новое значение выпадает со 100% вероятностью за один бросок. Матожидание количества равно 1.
Во второй раз может быть несколько бросков. Каждый раз с вероятностью 1/6 выпадает старое значение и с вероятностью 5/6 выпадает новое. Матожидание количества бросков [math].
Аналогично, в третий раз старое значение выпадает с вероятностью 2/6, а новое с вероятностью 4/6. Матожидание количества бросков до выпадения нового значения равно 6/4.
И так далее.
Суммарное матожидание всех бросков равно [math].
В первый раз новое значение выпадает со 100% вероятностью за один бросок. Матожидание количества равно 1.
Во второй раз может быть несколько бросков. Каждый раз с вероятностью 1/6 выпадает старое значение и с вероятностью 5/6 выпадает новое. Матожидание количества бросков [math].
Аналогично, в третий раз старое значение выпадает с вероятностью 2/6, а новое с вероятностью 4/6. Матожидание количества бросков до выпадения нового значения равно 6/4.
И так далее.
Суммарное матожидание всех бросков равно [math].
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Матожидание числа бросков
Ага, у меня тоже всегда проблемы с подобного рода задачами. Если бы речь шла о монетке, то, очевидно, чтобы бросание закончилось на -ом броске, должно выпасть орлов и последняя решка, либо наоборот, решек и последний орел. А всего комбинаций, значит, вероятность закончить на бросках . Проверяем: --- правильно. Ну, а среднее число бросков (сумма считается через дифференцирование геометрической прогрессии) равно .
Для кости с произвольным числом равновероятных граней вероятность закончить на -ом бросании
Идея та же: нужно, чтобы в первые бросаний выпали, допустим, не шестерки, а в последнее бросание --- шестерка. И чтобы в первые бросаний все грани, кроме шестерки, выпадали по крайней мере один раз.
Дальше введем производящую функцию . Используя интегральное представление гамма-функции
можно расцепить суммирование по , ... . У меня получилось
Заменой интеграл для сводится к бета-функции
Проверяем:
--- правильно. Теперь среднее значение числа бросаний равно
Наверное, можно как-то проще, не знаю...
P. S. Ага, пока писал, zykov уже привел простое решение.
Для кости с произвольным числом равновероятных граней вероятность закончить на -ом бросании
Идея та же: нужно, чтобы в первые бросаний выпали, допустим, не шестерки, а в последнее бросание --- шестерка. И чтобы в первые бросаний все грани, кроме шестерки, выпадали по крайней мере один раз.
Дальше введем производящую функцию . Используя интегральное представление гамма-функции
можно расцепить суммирование по , ... . У меня получилось
Заменой интеграл для сводится к бета-функции
Проверяем:
--- правильно. Теперь среднее значение числа бросаний равно
Наверное, можно как-то проще, не знаю...
P. S. Ага, пока писал, zykov уже привел простое решение.
Матожидание числа бросков
peregoudov писал(а):Source of the post Ага, пока писал
Забавно - получается одновременно писали.
Матожидание числа бросков
peregoudov и zykov, огромное вам спасибо за участие.
Ваше индуктивное решение, peregoudov, я разобрала только до расцепления суммирования. Это уже за гранью моего знания и понимания.
Ваше же решение, zykov, выглядит проще, но я в него до конца не въехала. Буду разбираться.
Но в любом случае спасибо. Кое-что в мозгах прояснилось.
Ваше индуктивное решение, peregoudov, я разобрала только до расцепления суммирования. Это уже за гранью моего знания и понимания.
Ваше же решение, zykov, выглядит проще, но я в него до конца не въехала. Буду разбираться.
Но в любом случае спасибо. Кое-что в мозгах прояснилось.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 13 гостей