Сумма типа интегральной

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма типа интегральной

Сообщение Ian » 11 ноя 2018, 14:19

Найти [math] Проблема в том, что вычметодами получается 2, а преобразованиями 4. Хотелось бы совсем простое преобразование, в котором ошибиться негде.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма типа интегральной

Сообщение zykov » 11 ноя 2018, 15:18

Численно получается 2.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма типа интегральной

Сообщение zykov » 11 ноя 2018, 16:11

Если заменить на интеграл [math], то на бесконечности тоже предел 2.
Для этой функции Вольфрам выдаёт на бесконечности разложение [math].

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма типа интегральной

Сообщение Ian » 11 ноя 2018, 16:20

Ошибку -то я нашел, но сам способ не очень релевантен.
Обозначим [math] и преобразуем сумму первых 2n слагаемых к интегральной. Пусть отрезок [0;2] разбит на 2n отрезков с правыми концами вида [math]
[math][math]
,[math]-ее интегральная сумма, стремится к интегралу[math][math]
[math][math]

Ну и вроде как [math]

Во втором слагаемом есть некоторая недоказанность...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма типа интегральной

Сообщение zykov » 11 ноя 2018, 16:44

Ian писал(а):Source of the post но сам способ не очень релевантен

Не совсем понял, о чем речь...
Если речь о простом способе доказательства того что предел равен 2, то приведенный мной интеграл работает.

[math], [math].
Для [math] интеграл легко берется и легко показывается, что предел на бесконечности равен 2.
Так же легко показать, что [math] в силу роста подинтегральной функции. (Можно просто по картинке с площадями - под гладким графиком для интеграла и под ступенчатым графиком для суммы.)
Аналогично для другой суммы [math] будет [math].
При этом [math].
Значит [math]. Нижняя и верхняя границы сходятся к 2, значит и [math] сходится к 2.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма типа интегральной

Сообщение Ian » 11 ноя 2018, 20:39

zykov писал(а):
Ian писал(а):Source of the post но сам способ не очень релевантен

Не совсем понял, о чем речь...
Не соответствует духу олимпиад. Вот задача прошлогодней олимпиады того же вуза. Найти [math] Решение в одну строчку: избавляемся от иррациональности в знаменателе, получаем телескопическую сумму. У нас конечно тоже можно проще : сравнить сумму с суммой [math] и показать что они имеют одинаковые пределы, но я ищу олимпийское какое-нибудь решение
P.S.Ваше последнее решение, впрочем, наиболее олимпийское из представленных.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей