ОММО-2018

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

ОММО-2018

Сообщение Ian » 06 фев 2018, 09:47

Олимпиада закончилась. Не очевидна 9-я задача, которая в 4х версиях. Применяем признак делимости на 9, но вариантов остается много
ommo2018-var.pdf
(145.97 KiB) Загружено 962 раз

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

ОММО-2018

Сообщение zykov » 06 фев 2018, 19:46

Тут (в 9) довольно просто.
При умножении на 2: 2*2=4, 4*2=8, 5*2=10, 7*2=14, 9*2=18.
В своём разряде может быть 0, 4, 8. В переносе 0 или 1. Т.к. в своём разряде нет 9, то двойного (и более) переноса не может быть.
Значит 2 даёт в сумме цифр удвоенного всегда 4.
4 даёт 8.
5 даёт 1+0=1.
7 даёт 1+4=5.
9 даёт 1+8=9.

Аналогично при делении на 2: 2/2=1, 4/2=4, 5/2=2.5, 7/2=3.5, 9/2=4.5.
В свём разряде может быть 0, 1, 2, 3, 4. В предыдущий разряд добавляется 0 или 5. В сумме не более 9 - значит переноса нет.
Значит 2 даёт в сумме цифр после деления на 2 всегда 1.
4 даёт 2.
5 даёт 2+5=7.
7 даёт 3+5=8.
9 даёт 4+5=9.

Если в начальном числе количество 2, 4, 5, 7, 9 равно [math] (количество 0 не важно), то сумма цифр в числе будет [math].
Так же сумма цифр удвоенного будет [math]. Равно 35 по условию.
А сумма цифр в половине будет [math]. Равно 29 по условию.

Далее [math], значит [math], значит [math].
Так же [math], значит [math], значит [math].
Отсюда [math].

(Можно и сразу получить заметив [math].)

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

ОММО-2018

Сообщение zykov » 06 фев 2018, 19:52

Это олимпиада для студентов? Технарей? Какого курса?
(Как-то просто... Первая с логарифмом уж вообще примитив.)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

ОММО-2018

Сообщение Ian » 07 фев 2018, 11:10

zykov писал(а):(Можно и сразу получить заметив [math].)

Спасибо. Это неожиданное свойство чисел, в которых нет цифр 1.3.6.8 (то есть четных больше 5 и нечетных меньше 5).
[math].
Я-то думал, что множество цифр сокращено только ради возможности перебора. Сначала получил [math], а так как [math] , [math] и дальше подбор примера, либо доказательство, что его нет. И на это может не хватить времени.
И тут возможен прикол, если было бы дано [math], Вы по формуле получили бы [math], а на самом деле решений нет, по признаку делимости на 9. Так что я полагаю, нужен еще хоть один пример, что такие данные реализуемы для некоторого многозначного числа М
В МГУ, например, в списке олимпиад 2-го уровня (заменяющих одно вступительное испытание, в их числе "Ломоносов") -этой нет. В других -есть. Но надо стать призером, то есть не меньше 8 задач за 3,5 часа

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

ОММО-2018

Сообщение zykov » 07 фев 2018, 14:59

Ian писал(а):Source of the post И тут возможен прикол, если было бы дано [math], Вы по формуле получили бы [math], а на самом деле решений нет,

Да.
4*29-38=78 - не делится на 27. Значит решений нет.
Это деление на 27 - необходимое и достаточное.

PS: Вообще говоря, предполагалось, что число какое-то есть по условию задачи и что две суммы были посчитаны для этого числа. Так что их проверять не надо.
Последний раз редактировалось zykov 07 фев 2018, 20:12, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

ОММО-2018

Сообщение zykov » 07 фев 2018, 15:11

zykov писал(а):Source of the post Это деление на 27 - необходимое и достаточное.

Наверно ещё нужно добавить [math].
Тогда [math], [math] и [math].

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

ОММО-2018

Сообщение Ian » 08 фев 2018, 17:42

zykov писал(а):
zykov писал(а):Source of the post Это деление на 27 - необходимое и достаточное.
Тогда [math], [math] и [math].
Тогда можно взять любое М из трех пятерок, 8 двоек и любого количества нулей, и все условия задачи (1й вариант) гарантированно будут выполнены. Например, M=55522222222, M/2=27761111111 , 2M=111044444444 .Спасибо!


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 12 гостей