Сумма ряда

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Сумма ряда

Сообщение peregoudov » 08 авг 2017, 16:34

Чему равна сумма ряда

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[f(l,n+1)+f(l,n-1)-2f(l,n)\right], $$

где $f(l,n)=\sqrt{l^2+n^2}$?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда

Сообщение zykov » 08 авг 2017, 20:03

Квадратные скобки что-то особое означают?

PS: Раз кто-то проснулся, то может будет ответ на вопрос про регистрацию новых пользователей (я писал в теме "Про капчу").

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Сумма ряда

Сообщение peregoudov » 09 авг 2017, 18:34

Нет, скобки --- это просто скобки. Про капчу написал.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда

Сообщение zykov » 09 авг 2017, 21:04

$$ \sum_{n=0}^{0}\left[f(l,n+1)+f(l,n-1)-2f(l,n)\right]=f(l,-1)-2f(l,0)+f(l,1) $$

$$ \sum_{n=-1}^{1}\left[f(l,n+1)+f(l,n-1)-2f(l,n)\right]=f(l,-2)-f(l,-1)-f(l,1)+f(l,2) $$

$$ \sum_{n=-2}^{2}\left[f(l,n+1)+f(l,n-1)-2f(l,n)\right]=f(l,-3)-f(l,-2)-f(l,2)+f(l,3) $$

Думаю, тенденция ясна.
Для данного $$f(l,n)$$ при больших положительных $$n$$ предел $$f(l,n+1)-f(l,n)$$ будет равен 1 (т.к. $$f(l,n)$$ примерно равен $$n$$).
Т.е. сумма ряда равна 2.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма ряда

Сообщение Ian » 10 авг 2017, 07:59

zykov писал(а):Для данного $$f(l,n)$$ при больших положительных $$n$$ предел $$f(l,n+1)-f(l,n)$$ будет равен 1 (т.к. $$f(l,n)$$ примерно равен $$n$$).
Слово "примерно" может означать что угодно, например эквивалентность. Равен [math] с точностью до бесконечно малого слагаемого, именно это нужно для обоснования. А на 1м курсе так делают :
[math]
[math]
Интересно, что это геометрически означает, например при [math] целом [math] -это длины некоторых отрезков на клетчатой бумаге

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда

Сообщение zykov » 10 авг 2017, 16:47

Это элементарно.
На масштабах когда $$n$$ много больше $$l$$ по абсолютной величине, в сумме можно выбросить $$l$$. Остается $$|n|$$ (уже не зависит от $$l$$).

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Сумма ряда

Сообщение zykov » 10 авг 2017, 16:50

Выражение $$f(l,n+1)+f(l,n-1)-2f(l,n)$$ - это просто дискретная вторая производная. Сумма от одного конца до другого равна разности первых производных (тоже дискретных). Ну а для $$|n|$$ первая производная справа +1, слева -1 (и просто производная, и дискретная).

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Сумма ряда

Сообщение peregoudov » 10 авг 2017, 22:58

Да, это возникло в геометрической задачке. Есть две параллельные прямые на расстоянии $l$ друг от друга, каждая расчерчена на отрезки единичной длины. Из одной полуплоскости на них падает изотропный и однородный поток частиц. Тогда член ряда --- это сколько частиц прошло через $k$-ый отрезок первой прямой и $k+n$-ый отрезок второй. Ну, а сумма --- сколько всего прошло через $k$-ый отрезок первой.

Так на самом деле устроены некоторые детекторы частиц, так называемые годоскопы. Мы сейчас взаимодействуем с МИФИ, у которых есть мюонный годоскоп, и вот при усреднении данных по большому промежутку времени странная картинка получается, я думаю, они как-то неправильно первичные данные обрабатывают.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Сумма ряда

Сообщение Ian » 24 июл 2018, 08:49

ArenScalpSa писал(а):Я так понимаю , что предел n члена ряда равен 0. По необходимому признаку сходимости ряд сходится.

По необходимому - ряд МОЖЕТ БЫТЬ, сходится. А вот если бы он не выполнялся -ряд ТОЧНО НЕ сходился бы.
Установлено, уже в 4м посте, большее -что частичные суммы телескопические
[math]


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 12 гостей