Оригинал для синуса

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Оригинал для синуса

Сообщение Ian » 27 июн 2017, 19:54

У какой функции преобразование Лапласа
[math]
Я бы не спрашивал, мало ли какие интегральные уравнения , не решаемые в элементарных функциях, бывают, но сегодня в питере на экзамене спрашивали свойства этой функции. Мне кажется она не дифференцируемая и может обобщенная.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Оригинал для синуса

Сообщение zykov » 27 июн 2017, 20:28

Ну вообще говоря такой [math] нет.

По связи преобразования Лапласа и Фурье должно быть что-то вроде [math] (с каким-то [math]), но интеграл от такой функции просто будет равен нулю.

Наверно можно и доказать, что нет, если взять какой-то конкретный класс функций.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Оригинал для синуса

Сообщение Ian » 27 июн 2017, 21:48

А [math] ? Вроде только сдвигом аргумента оригинала отличаются. Но зато теперь изображение убывающее
Если бы в ответе на 1-й пост была обычная функция [math], то из периодичности синуса [math] тоже годилась бы, что уже странно. Похоже, что ответ какой-то ряд из дельта-функций,

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Оригинал для синуса

Сообщение zykov » 28 июн 2017, 00:41

Ian писал(а):Source of the postВроде только сдвигом аргумента оригинала отличаются.
Ещё пределом интегрирования.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Оригинал для синуса

Сообщение Ian » 28 июн 2017, 08:31

Я пытаюсь разобраться, есть ли какой-нибудь глубокий смысл в так поставленном вопросе. https://files.icq.net/get/0gMcApUGwsi6z ... 952318a1ae например во втором вопросе этого билета признанная опечатка

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Оригинал для синуса

Сообщение zykov » 28 июн 2017, 12:46

Ian писал(а):Source of the post то из периодичности синуса [math]
Кстати, несовсем.
Обычно Лаплас не сходится на всей области. Где-то в минусе будет расходимость (это конечно если [math] не зануляется для всех точек больше какого-то значения), т.к. интеграл от плюс экспоненты.
А если образ не равен синусу на всей числовой прямой, то и периодичности не будет.

PS: Честно говоря не люблю преобразование Лапласа. То ли дело Фурье - просто переход от одного ортонормированного базиса к другому. Новый базис интересен тем, что оператор переноса становится диагональным (а следовательно и всякие операторы производных).

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Оригинал для синуса

Сообщение zykov » 28 июн 2017, 12:51

Ian писал(а):Source of the post Я пытаюсь разобраться, есть ли какой-нибудь глубокий смысл в так поставленном вопросе

Трудно сказать. Может просто нужно формально применить какое-то свойство, которое преподавали.
Например "Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов". Тут как раз в изображении стоит произведение.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Оригинал для синуса

Сообщение Ian » 28 июн 2017, 13:17

zykov писал(а):. Тут как раз в изображении стоит произведение.
Но "оригинал" от [math] это [math] так что лучше уж теорему сдвига аргумента в оригинале

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Оригинал для синуса

Сообщение peregoudov » 06 июл 2017, 09:16

Производными от дельта-функции можно получить любое изображение, скажем, в данном случае

$$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\delta^{(2n+1)}(t-2). $$

Не знаю, правда, как обстоят дела со сходимостью рядов с обобщенными функциями...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Оригинал для синуса

Сообщение Ian » 07 июл 2017, 23:33

Со сходимостью рядов с обобщенными функциями дела обстоят предсказуемо плохо. По одному из определений, обобщенная функция- это функционал на пространстве основных (бесконечно дифференцируемых финитных) функций, среди которых нет ни одной аналитической. А действие написанного функционала
peregoudov писал(а):$$ f(t)\sim \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\delta^{(2n+1)}(t-2). $$
на фунцию [math]
[math]
[math]
-получилось Im значения ряда Тейлора в точке t=2+i, написанного из центра t=2. Далее, основная функция [math] хотя и не может быть аналитической на всей прямой, может оказаться аналитической в интервале радиуса больше 1 с центром в t=2 , а дальше например бесконечно дифференцируемым сопряжением делаться финитной. В общем получился функционал [math], только определенный не на всем пространстве основных функций, а какой мы еще хотели оригинал для [math]
Почти законная обобщенная функция, может теорию о таких развить? :)

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Оригинал для синуса

Сообщение peregoudov » 11 июл 2017, 18:50

Тогда такой вариант: там не синус, а гиперболический синус.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 7 гостей