Симметричное неравенство
Симметричное неравенство
Если [math], то [math]
Есть решение, не выходящее за пределы того класса, где синусы и косинусы появляются.Но вообще всякие интересуют)
Есть решение, не выходящее за пределы того класса, где синусы и косинусы появляются.Но вообще всякие интересуют)
Re: Симметричное неравенство
Пусть [math] наименьший из трёх. Тогда [math].
Если бы [math], то [math] и неравенство становится равенством.
Но [math], значит сумма косинусов [math] и [math] больше суммы их синусов (легко доказать от противного, используя что косинус убывает, а синус растёт на участке от [math] до [math]).
Косинус [math] тоже больше синуса [math] учитывая ограничение на [math].
Если бы [math], то [math] и неравенство становится равенством.
Но [math], значит сумма косинусов [math] и [math] больше суммы их синусов (легко доказать от противного, используя что косинус убывает, а синус растёт на участке от [math] до [math]).
Косинус [math] тоже больше синуса [math] учитывая ограничение на [math].
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Re: Симметричное неравенство
Сомнительно, что тут вообще достигается равенство.
У меня такая геометрическая идея. Нарисуем половинку окружности единичного радиуса и отложим на ней последовательно углы a, b, c (в сумме они составят 90 градусов), a, b, c (итого как раз 180 градусов). Площадь вписанного в эту полуокружность семиугольника --- как раз сумма синусов. А площадь вписанного четырехугольника, если брать вершины на окружности через одну --- половина суммы косинусов. Площадь семиугольника не больше площади полукруга, а самый невыгодный случай для четырехугольника (вроде бы?) --- вырождение в прямоугольний треугольник, удвоенная площадь которого все равно больше площади полукруга.
У меня такая геометрическая идея. Нарисуем половинку окружности единичного радиуса и отложим на ней последовательно углы a, b, c (в сумме они составят 90 градусов), a, b, c (итого как раз 180 градусов). Площадь вписанного в эту полуокружность семиугольника --- как раз сумма синусов. А площадь вписанного четырехугольника, если брать вершины на окружности через одну --- половина суммы косинусов. Площадь семиугольника не больше площади полукруга, а самый невыгодный случай для четырехугольника (вроде бы?) --- вырождение в прямоугольний треугольник, удвоенная площадь которого все равно больше площади полукруга.
Re: Симметричное неравенство
А если так: учитывая, что косинус убывает от [math] до [math], запишем
[math]
или
[math]
А теперь - формулы приведения:
[math]
Складываем почленно все три неравенства. Получаем заданное неравенство.
Я нигде не ошибся? Что-то уж очень просто.
А равенства тут, по-моему, и быть не может.
[math]
или
[math]
А теперь - формулы приведения:
[math]
Складываем почленно все три неравенства. Получаем заданное неравенство.
Я нигде не ошибся? Что-то уж очень просто.
peregoudov писал(а):Сомнительно, что тут вообще достигается равенство.
А равенства тут, по-моему, и быть не может.
Re: Симметричное неравенство
ARRY писал(а):А равенства тут, по-моему, и быть не может.
Если одно из значений равно 0 (например [math]), то имеем равенство.
[math]
Re: Симметричное неравенство
Всё правильно.ARRY писал(а):Я нигде не ошибся? Что-то уж очень просто.
Тоже что у меня, только симметрично расписано. У меня более конструктивно.
Если числа два, то равенство. Если больше двух (обобщается на любое количество), то неравенство.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Re: Симметричное неравенство
А куда пропал cos(c)=1?zykov писал(а):Если одно из значений равно 0 (например [math]), то имеем равенство.
[math]
Re: Симметричное неравенство
Понятно.
Это я неясно выразился. Извиняюсь!
"Равенство" относилось к случаю 2 чисел. Я просто с самого начала рассматривал общий случай для любого количества чисел.
Это я неясно выразился. Извиняюсь!
"Равенство" относилось к случаю 2 чисел. Я просто с самого начала рассматривал общий случай для любого количества чисел.
Re: Симметричное неравенство
Общий случай следует из двух фактов.
1) Если [math], то [math].
2) Если [math], то [math]
1) Если [math], то [math].
2) Если [math], то [math]
Re: Симметричное неравенство
Я имел в виду решение точно как у ARRY, смысл его -отказаться от симметрии). Также ставил вопрос о нахождении верхней и нижней грани для[math]. Эта дробь имеет смысл котангенса полярного угла суммы трех единичных векторов,полярные углы которых имеют заданную сумму [math]. И задача минимизации, и задача максимизации быстро сводится к задаче от одной переменной, пока не расскажу как.
Извините, что редко посещаю, надо взять за правило каждый день. Или какое-нибудь оповещение настроить?
Извините, что редко посещаю, надо взять за правило каждый день. Или какое-нибудь оповещение настроить?
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Re: Симметричное неравенство
А у меня вот еще смешнее выходит. Поскольку [math], а [math], то
[math]
[math]
(второе неравенство в последней строке --- в силу неравенства треугольника). Вроде как для n=3 и более оценка суммы синусов сверху всегда меньше оценки суммы косинусов снизу.
[math]
[math]
(второе неравенство в последней строке --- в силу неравенства треугольника). Вроде как для n=3 и более оценка суммы синусов сверху всегда меньше оценки суммы косинусов снизу.
Ага, и ежедневно посещать то место, куда оповещение будет приходить.Или какое-нибудь оповещение настроить?
Re: Симметричное неравенство
peregoudov писал(а):А у меня вот еще смешнее выходит. Поскольку [math], а [math], то
Верно, только требование было
Ian писал(а):Есть решение, не выходящее за пределы того класса, где синусы и косинусы появляются.
Re: Симметричное неравенство
Ой это я неточно выразился, это я вопрос для себя ставил а в теме не задавал.Ian писал(а):Я имел в виду решение точно как у ARRY, смысл его -отказаться от симметрии). Также ставил вопрос о нахождении верхней и нижней грани
Рассмотрим задачу на минимум отношения(максимум полярного угла суммы n единичных векторов)Расположим полярные углы [math] в порядке возрастания, так что ломаная [math]является графиком выпуклой функции.Допускаем вырождение , чтобы некоторые полярные углы могли быть равны 0.
Лемма о спрямлении. У пары соседних звеньев можно изменить полярные углы либо до [math], либо до [math], не уменьшая[math]
Доказательство:изменяя [math] так, чтобы не изменялась сумма [math], мы перемещаем [math] либо в направлении вектора [math], либо в противоположном. Пока не состоится одно из двух событий, указанных в лемме.
После этого можно переставить звенья для выпуклости и повторять спрямление. Придем к конструкции: первые (n-k) из n звеньев идут по оси Ох, следующие по одной прямой с полярным углом [math]
Расчет оптимального значения k в общем виде это для меня проблема, получается оптимальное k примерно две трети от n, вот будет весело если [math]
И еще задачу на максимум надо посмотреть с той же леммой, видимо [math]
Последний раз редактировалось Ian 26 янв 2017, 11:24, всего редактировалось 1 раз.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Re: Симметричное неравенство
Чисто тест, чтобы проверить, работает ли подписка на тему у Ian'a.
Re: Симметричное неравенство
На вскидку, интуитивно, минимум скорее всего когда все равны по [math], а максимум когда два [math] и один [math].Ian писал(а):нахождении верхней и нижней грани для[math]
Re: Симметричное неравенство
Как-то путано. Непонятно в чём задача...Ian писал(а):Ian писал(а):(максимум полярного угла суммы n единичных векторов)
Re: Симметричное неравенство
zykov,Конечно поясню,рисунок смотрите выше [math], где a,b,c- углы наклона звеньев к Ox . И в частности из рисунка видно, что [math] Как и в общем случае, треть звеньев(звенья -это те кто синие) по оси, остальные по одной прямой.
Почему видно: возьмем за исходную Вашу конструкцию, три звена [math] по одной прямой. Тогда по лемме сокращаем вдоль себя [math], не изменяя отношение, потом выпрямляем снова [math], уменьшая его.То, что равенство всех слагаемых не доставляет ни минимума, ни максимума - это уже экстравагантно
У вас всех много оригинальных решений. Но мой метод я думаю сильнее только освойте
Почему видно: возьмем за исходную Вашу конструкцию, три звена [math] по одной прямой. Тогда по лемме сокращаем вдоль себя [math], не изменяя отношение, потом выпрямляем снова [math], уменьшая его.То, что равенство всех слагаемых не доставляет ни минимума, ни максимума - это уже экстравагантно
У вас всех много оригинальных решений. Но мой метод я думаю сильнее только освойте
Re: Симметричное неравенство
Да, численный эксперимент показал, что минимум при [math], максимум при [math].
Re: Симметричное неравенство
Ian писал(а):видимо [math]
Ian
А это как получилось? Что-то не могу сообразить?
Re: Симметричное неравенство
ARRY писал(а):Ian писал(а):видимо [math]
Ian
А это как получилось?
Пусть есть ломаная из n>2 звеньев, выпуклая, аналогичная синей на рисунке. Тогда полярный угол [math] и значит для уменьшения угла [math] (увеличения исследуемого отношения) отрезок [math] надо сократить насколько возможно, сделав значит [math]. Потом переставим звенья снова в порядке возрастания полярных углов и сделаем еще у одного звена, ставшего предпоследним,полярный угол равным 0. И так далее придем к ситуации где у n-1 звеньев полярные углы равны 0, вот у нее уменьшить угол (увеличить отношение) нельзя
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость