Норма интегрального оператора

[Ian]

[math]A:C[a,b]\to C[a,b]\;(Ax)(t)=\int_a ^bx(u)\sin (tu)du, найти норму
Начало решения[math]||A||=\sup_{||x(t)||=1}\sup_{a\leq t\leq b}|\int_a ^bx(u)\sin (tu)du|=
[math]=\sup_{a\leq t\leq b}\int_a ^b|\sin (tu)|du=(b-a)\sup_{a\leq t\leq b}\frac 1{bt-at}\int_{at} ^{bt}|\sin (x)|dx
А дальше никто не обещал, что интегральное среднее модуля синуса не превосходит [math]\frac 2{\pi}, например если [math]a=\sqrt{\frac{\pi}2}-0,001,b=\sqrt{\frac{\pi}2}+0,001-оно близко к единице. неужели нет хорошей формулы через a,b ?

[peregoudov]

Вот так вот чтоб прямо формулы --- наверное, нет, но для конкретных a и b вычислить можно. Введем [math]F(x)=\int_0^x|\sin y|\,dy и [math]G(x)=F(x)-xF'(x), тогда в качестве конкурирующих t выступают решения уравнения [math]G(at)=G(bt) и концы отрезка [math]t=a,b.

При a=0 все сильно проще

[math]\frac1b\Vert A\Vert=\max_k[F(x_k)/x_k,F(b^2)/b^2]

где [math]x_k --- корни уравнения [math]G(x)=0, причем [math]0<x_k<b^2. Поэтому при [math]x_1>b^2 норма равна [math]F(b^2)/b, а при [math]x_1<b^2 --- [math]F(x_1)b/x_1

Графики функций F(x) (красный) и G(x) (зеленый)


Геометрия забавная: экстремумам G соответствуют перегибы F, а нули G соответствуют точкам, в которых касательная к графику F проходит через начало координат. Вообще G --- это такое недоделанное преобразование Лежандра от F.

[peregoudov]

Ну вот еще для [math]b^2<\pi получается достаточно просто. Пусть [math]x_1(a/b) --- корень уравнения [math]G(x)=G(ax/b), лежащий на [math][\pi/2,\pi]. Тогда при [math]b^2<x_1(a/b) норма равна [math]\frac1b(\cos ab-\cos b^2), а при [math]b^2>x_1(a/b) норма равна [math]\frac b{x_1}(\cos(ax_1/b)-\cos x_1).

При больших b, думаю, пойдет жуткое ветвление. Может, его и можно описать какой-то выпуклой оболочкой...

[Ian]

Спасибо. Вот тут не очень качественный график, но кажется возможна декомпозиция этих колебаний, а потом доказать, что максимум в пределах первой волны "больших" колебаний, и какой примерно по счету из локальных максимумов

msin.JPG (41.71 KiB) 10596 просмотра