Непрерывность в единственной точке

[Dolly]

Здраствуйте. Сдала задание по анализу, преподаватель потребовал к одной задаче дополнительно привести примеры функций:
1) Всюду непрерывной, но не дифференцируемой только в одной точке,
2) Непрерывной только в одной точке области определения.
Ну в первом случае всё просто - например, функция [math]f(x)=|x| не имеет производной в точке [math]x=0, хоть и непрерывна в ней.
А вот со второй функцией - не знаю. Что-то вроде функции Дирихле? Но ведь она всюду разрывная. Или как-то её доопределить в какой-то точке? Чтобы в окрестности этой точки были только рациональные числа? Чтобы в этой точке был предел. Или только иррациональные? Но как это сделать? Не понимаю.

[zykov]

Просто помножте её на X.

[Dolly]

Просто помножте её на X.

Не совсем поняла. Вот функция Дирихле: [math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& 1, если x - рациональное,\\
& 0, если x - иррациональное
\end{aligned}\right.
Умножаю на [math]x. Получаю функцию [math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& x, x\in\mathbb{Q},\\
& 0, x\in\mathbb{I}
\end{aligned}\right.
Вы хотите сказать, что эта функция в точке [math]x=0 имеет конечный предел? Мне тоже кажется так. Но как это доказать (или объяснить)? И как доказать, что во всех остальных точках числовой оси эта функция имеет разрыв?

[peregoudov]

Наверное, [math]0\leq f(x)\leq x, а дальше по теореме о трех милиционерах. В любой другой точке f(x)=(x-a)D(x)+aD(x), где D(x) --- функция Дирихле, первый член по доказанному имеет предел, второй --- всюду разрывен.

[zykov]

Просто помножте её на X.

Но как это доказать (или объяснить)? И как доказать, что во всех остальных точках числовой оси эта функция имеет разрыв?

И то, и другое - легко по определению (через эпсилон-дельта).

[Dolly]

И то, и другое - легко по определению (через эпсилон-дельта).

Всё поняла, спасибо.
Могла бы и сама догадаться.

[ARRY]

Dolly, как вариант, взгляните на функцию [math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& x, если~x~рациональное,\\
& -x, если~x~иррациональное
\end{aligned}\right..
Здесь ещё более очевидно, прямо в глаза бросается непрерывность в точке [math]x=0. Доказывается всё теми же [math]\varepsilon-\delta рассуждениями.