Дифур убегания

[Ian]

Мальчик может бегать по круглой арене радиуса 1 с максимальной скоростью 1 по закону
[math]X(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\
x_{2}(t)\end{pmatrix},|X|\leq1,|\frac{dX}{dt}|\leq1
За мальчиком гоняется лев, обладаюший той же максимальной скоростью , пусть закон его движения
[math]Y(t)=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\
y_{2}(t)
\end{pmatrix},|Y|\leq1,|\frac{dY}{dt}|\leq1
Поимка- означает совпадение X=Y в конечный момент времени
А.С. Безикович в 60-х годах доказал, что мальчик может оставаться непойманным бесконечно долго. Для этого ему надо 1) точкой старта выбрать точку не на краю (отбежать) 2)в каждый момент свою скорость использовать по максимуму 3) и направлять ее перпендикулярно направлению на льва, 4) а из двух направлений выбирать то которое меньше удаляется от центра арены Это решение (в виде ломаной со стремящимися к нулю звеньями, сумма длин которых бесконечна) пересказали: Литлвуд, Математическая смесь, 1970; М.Л.Гервер, Квант,1973,№3, К.Трошин, какой-то мелкий не помню журнал, наше время.
Опишем такую стратегию мальчика дифуравнением.
[math]\frac{dX}{dt}=\pm\frac{A(X-Y)}{|X-Y|},где A=\begin{pmatrix}0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
а знак [math]\pm выбирается из условия неположительности скалярного произведения [math]\left(X,\frac{dX}{dt}\right)\leq0 (если 0, то картинка симметрична и направление произвольно)
Уравнение гарантирует что [math]|\frac{dX}{dt}|=1. Изменим масштаб времени [math]dt=|X-Y|d\tau , чтобы уравнение стало линейным (штрих далее означает производную по тау). При этом, так как [math]0\leq|X-Y|\leq2 , то из бесконечной продолжаемости решения по псевдовремени [math]\tau следует его бесконечная продолжаемость по времени t. Но не наоборот
[math]\begin{cases}
\begin{array}{cc}
x_{1}'= & y_{2}-x_{2}\\
x_{2}'= & x_{1}-y_{1}
\end{array} & X'=A(X-Y)\end{cases}
Стало похоже на линейную задачу оптимального управления, где для каких-то конкретных начальных положений управление Y таково, что стремится минимизировать момент T в который станет X=Y

Решение в общем виде получилось такое. что
[math]X(\tau)=e^{A\tau}X(0)+\int_{0}^{\tau}e^{A(\tau-t)}Y(t)dt
,где
[math]e^{A(\tau-t)}=\begin{pmatrix}\cos(\tau-t) & -\sin(\tau-t)\\
\sin(\tau-t) & \cos(\tau-t)
\end{pmatrix}
с поправкой, что берется Y такая, что выбор [math]\pm в исходном уравнении постоянный. Но что это значит? поймает или нет?

[Ian]

Ответ. Возможность поимки, при стратегии мальчика, задаваемой этой системой дифуравнений, есть. Пусть Y(0)=(0.1;-0,1),X(0)=(0.6;-0,1) , и лев придерживается "радиальной" стратегии , но с центром не в центре арены О, а с центром в точке L0=Y(0). То есть поддерживает Y(t) и X(t) на одном "радиусе" c центром Y(0), тогда мальчик, вынужденный следовать системе ДУ, бежит по дуге с центром Y(0) и через четверть дуги в точке Х попадется, а траектория льва окажется полуокружностью, построенной на L0X как на диаметре. Легко видеть что равномерный бег по этой полуокружности поддерживает льва на одном радиусе с мальчиком. А мальчик непрерывно сближается с центром О арены, значит выбор плюсминуса такой и останется.

LM.png (7.84 KiB) 456 просмотра

Это показывает, что система ДУ хуже решения Безиковича: 1) путь мальчика не спрямленный, и потому длиннее 2) в системе отсутствует компонента более высокого порядка малости, позволяющая при радиальной стратегии льва отступать бесконечно долго. В общем, надо ее дорабатывать, ведь теоретически убежать можно!