Математика без актуальной бесконечности.

talash · Сообщение **talash** » 19 сен 2023, 00:29

Меня интересует математика свободная от актуальной бесконечности. Потому что лично я интуитивно не понимаю актуальную бесконечность и подозреваю, что её внедрение не принесло никакой практической пользы. Актуальная бесконечность это когда как бы производится какое-либо бесконечное действие за конечное время.

Заводил тему на dxdy, но пояснения заслуженного участника меня не удовлетворили. А перечить может быть чревато снесением и темы и меня, прецеденты были. Поэтому, если администрация этого форума не против попробую пообсуждать эту тему здесь.

Начнём с потенциально бесконечных последовательностей ~~и рядов~~. Чтобы доказать, что последовательность ~~или ряд~~ сходится к определённому числу, проводить бесконечные операции не нужно. Коши придумал определение предела, которое не требует проведения бесконечных операций. Посмотреть примеры доказательств можно здесь.

В чём там концептуальная суть, как я понял. Предельный переход это специально определённая математическая операция. Идея в том, что мы ~~не суммируем бесконечный ряд и~~ не совершаем бесконечных операций, а получаем алгебраическое выражение и анализируем его область определения, убеждаемся, что для любых

\epsilon>0 это выражение везде определено. Заметим, что в первых трёх примерах(по ссылке выше)

\epsilon оказывается в знаменателе без других слагаемых и, таким образом, выражение получается везде определено для любых

\epsilon>0. Если попробовать провести доказательство для неправильного предела, то в знаменателе появится лишнее слагаемое и доказательство сломается.

Отсюда появляются вопросы.

Можно ли доказать по Коши, что предел некоторой последовательности иррациональное число? Подозреваю, что нельзя.

Если представить последовательность рациональных чисел, которые приближаются к

\sqrt{2}. Эта последовательность описана на словах и я не знаю, как её представить в виде математического выражения. Значит ли это, что по Коши доказать, что предел равен

\sqrt{2} не получится? К тому же предел иррациональный, но вопрос именно про последовательность на словах.

Vladimir Pliassov

Как я понимаю, наша задача избавиться от актуальной бесконечности, если не совсем, то хотя бы там, где возможно. Начнем со счетных множеств.

Разумеется, конечное существо не может составить список всех элементов бесконечного множества, но этот полный список -- который невозможно составить, -- можно заменить указанием алгоритма нахождения каждого из элементов множества. Например, алгоритм нахождения любого элемента множества натуральных чисел

\mathbb N=\{1, 2, 3, \ldots\} состоит в прибавлении единицы к предыдущему числу. Если у нас есть этот алгоритм, нам уже не нужна актуальная бесконечность

\mathbb N, и нам не нужно пытаться ее постичь.

Так же и на множество членов последовательности, заданной так, что можно найти любой ее член по его номеру, нет необходимости смотреть как на актуально бесконечное.

Правда, с другими последовательностями может оказаться не так просто, например, в бесконечной последовательности

P(разумеется, не всех) бесконечных последовательностей нулей и единиц по номеру члена последовательности

P, по-моему, невозможно его найти.

Над Вашими вопросами думаю.

Albus · Сообщение **Albus** » 19 сен 2023, 18:23

Можно ли доказать по Коши, что предел некоторой последовательности иррациональное число? Подозреваю, что нельзя.

Можно. Рассмотрите сумму $\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4}+...$
Можно доказать как существование предела, так и то, что он иррационален

Albus · Сообщение **Albus** » 19 сен 2023, 18:24

Эта последовательность описана на словах и я не знаю, как её представить в виде математического выражения. Значит ли это, что по Коши доказать, что предел равен 2–√ не получится? К тому же предел иррациональный, но вопрос именно про последовательность на словах.

Если можно на словах, значит можно и математически

Albus · Сообщение **Albus** » 19 сен 2023, 18:29

Разумеется, конечное существо не может составить список всех элементов бесконечного множества, но этот полный список -- который невозможно составить, -- можно заменить указанием алгоритма нахождения каждого из элементов множества. Например, алгоритм нахождения любого элемента множества натуральных чисел N={1,2,3,…} состоит в прибавлении единицы к предыдущему числу. Если у нас есть этот алгоритм, нам уже не нужна актуальная бесконечность N, и нам не нужно пытаться ее постичь.

Это не алгоритм. Чем это отличается от "у нас есть какой-то элемент n из актуальной бесконечности N"?

talash · Сообщение **talash** » 19 сен 2023, 21:17

Vladimir Pliassov писал(а):Например, алгоритм нахождения любого элемента множества натуральных чисел \mathbb N=\{1, 2, 3, \ldots\} состоит в прибавлении единицы к предыдущему числу. Если у нас есть этот алгоритм, нам уже не нужна актуальная бесконечность \mathbb N, и нам не нужно пытаться ее постичь.

Так же и на множество членов последовательности, заданной так, что можно найти любой ее член по его номеру, нет необходимости смотреть как на актуально бесконечное.

Кажется логичным, только уже появляется какая-то неоднозначность. Вроде бы можно смотреть, а можно не смотреть как на актуально бесконечное.

Есть предложение использовать чёткие практические критерии. Если операция выполнима значит всё хорошо. А если не выполнима из-за того что бесконечна, а её результатами пытаются воспользоваться, то значит вот тут-то и появляется актуальная бесконечность, от которой нужно избавиться.

Например, имеем множество натуральных чисел. Что такое множество? Это совокупность каких-либо объектов. Пока мы с этими объектами ничего не делаем, не проводим никаких операций, то значит и актуальной бесконечности возникнуть не может, даже если само множество содержит бесконечное количество объектов.

В обчем пока предлагаю от множеств не отказываться, а то и обсуждать станет нечего :lol:

Albus писал(а):
Можно ли доказать по Коши, что предел некоторой последовательности иррациональное число? Подозреваю, что нельзя.

Можно. Рассмотрите сумму $\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4}+...$
Можно доказать как существование предела, так и то, что он иррационален

Я вчитался в теорию и оказалось, что с рядами несколько сложнее дела обстоят. Пока подправил первое сообщение, убрал ряды.
Спасибо за ответ, в связи с изменениями я уточню вопрос:
Можно ли доказать по Коши, что предел некоторой последовательности конкретное иррациональное число?
Например, доказать, что:
$Изображение$
Извиняюсь за картинку. Взята отсюда в разделе "Пределы:".
Кстати, кто-нибудь знает, что означают квадратные скобки в формуле выше?

Albus · Сообщение **Albus** » 19 сен 2023, 23:41

Я вчитался в теорию и оказалось, что с рядами несколько сложнее дела обстоят. Пока подправил первое сообщение, убрал ряды

С рядами все то же самое

Можно ли доказать по Коши, что предел некоторой последовательности конкретное иррациональное число

Можно

Vladimir Pliassov

Albus писал(а):Это не алгоритм.

Я сначала подумал, что Вы имеете в виду, что прибавление единицы к каждому предыдущему числу не является алгоритмом, и удивился. Но потом, кажется разобрался:

Albus писал(а):Чем это отличается от "у нас есть какой-то элемент n из актуальной бесконечности N"?

Можно, конечно и так сказать, если Вы ее признаете. Я лично еще не решил, признаю или нет.

talash писал(а):
Vladimir Pliassov писал(а):Например, алгоритм нахождения любого элемента множества натуральных чисел \mathbb N=\{1, 2, 3, \ldots\} состоит в прибавлении единицы к предыдущему числу. Если у нас есть этот алгоритм, нам уже не нужна актуальная бесконечность \mathbb N, и нам не нужно пытаться ее постичь.

Так же и на множество членов последовательности, заданной так, что можно найти любой ее член по его номеру, нет необходимости смотреть как на актуально бесконечное.

Кажется логичным, только уже появляется какая-то неоднозначность. Вроде бы можно смотреть, а можно не смотреть как на актуально бесконечное.

Я думаю, надо разобраться с тем, принимать ли потенциальную бесконечность -- когда к множеству элементов всегда можно добавить еще один элемент. Мне кажется, без нее не обойтись. Она, конечно, тоже непонятна, но не так, как актуальная, тоже зло, но меньшее, ее можно принять как данность -- ведь и опыт наш говорит, что к любому выбранному натуральному числу можно прибавить единицу.

Мое предложение замены полного списка элементов (то есть замены актуальной бесконечности) на указание алгоритма их нахождения опирается на потенциальную бесконечность: к любому подмножеству уже идентифицированных элементов всегда можно добавить еще один.

talash писал(а):В обчем пока предлагаю от множеств не отказываться, а то и обсуждать станет нечего

Нет, конечно, но, может быть, на множество посмотреть как-то по-другому?

Вот стоит коробка, в ней находится бесконечное множество. Можно заглянуть в нее и обозреть все его элементы -- если, конечно, вы обладаете особым зрением, каким, может быть, обладает бог (не уверен, что даже он обладает). А можно не пытаться их обозреть, а предъявить служителю при этой коробке алгоритм, который идентифицирует интересующей вас элемент, и служитель вам его выдаст. Как он его найдет, это его дело, не будем об этом спрашивать. (На коробке написана общая формула алгоритма нахождения элементов, которые в ней находятся, а вы предъявляете служителю алгоритм с конкретными значениями переменных. Есть, разумеется, и другие коробки, с другими общими алгоритмами нахождения элементов.) При этом будьте уверены, что в коробке найдется элемент, соответствующий любым переменным в формуле алгоритма.

Идея в том, что мы не можем заглянуть туда, за пределы нашего сознания, в недоступную нам часть мира, так и не надо пытаться туда заглянуть, а работать только с теми проявлениями этой недоступной части мира, которые нам доступны.

Может быть, там кто-то и может обозреть все элементы бесконечности (то есть постичь актуальную бесконечность), но здесь мы этого не можем, так и не надо пытаться этого делать. Тем не менее, что-то мы все же можем.

Что если на множество (во всяком случае, на бесконечное) смотреть как на что-то такое:

есть признак и объекты (элементы множества), которые им обладают, и каждый из этих объектов можно найти (идентифицировать), но не надо пытаться все их обозреть?

talash · Сообщение **talash** » 20 сен 2023, 10:20

Albus писал(а):
Я вчитался в теорию и оказалось, что с рядами несколько сложнее дела обстоят. Пока подправил первое сообщение, убрал ряды

С рядами все то же самое

Да, ряды сводятся к последовательностям через частичные суммы. И определение предела получается такое же.

Albus писал(а):
Можно ли доказать по Коши, что предел некоторой последовательности конкретное иррациональное число

Можно

А можно хоть один пример, где используя определение Коши, доказывается, что предел последовательности равен конкретному иррациональному числу, например, $\pi$ или $\sqrt2$ .

Вот определение предела по Коши:
число $\alpha$ называется пределом последовательности, если для любой его окрестности $\epsilon>0$ , существует натуральный номер $N$

– такой, что все члены последовательности с бОльшими номерами $n>N$

окажутся внутри окрестности: $|x_n- \alpha<\epsilon|$ .

Я думаю, что это невозможно, потому что для доказательства по Коши, нужно в выражение подставлять числа в их цифровой форме. А для иррациональных чисел это сделать нельзя.

Vladimir Pliassov писал(а):Я думаю, надо разобраться с тем, принимать ли потенциальную бесконечность -- когда к множеству элементов всегда можно добавить еще один элемент. Мне кажется, без нее не обойтись. Она, конечно, тоже непонятна, но не так, как актуальная, тоже зло, но меньшее, ее можно принять как данность -- ведь и опыт наш говорит, что к любому выбранному натуральному числу можно прибавить единицу.

Мое предложение замены полного списка элементов (то есть замены актуальной бесконечности) на указание алгоритма их нахождения опирается на потенциальную бесконечность: к любому подмножеству уже идентифицированных элементов всегда можно добавить еще один.

Вы, как мне кажется, считаете математику субъективной наукой, типа, хочу признаю, хочу не признаю.

У меня другой подход. В математике возможны любые чётко определённые и непротиворечивые конструкции. Но поскольку таких конструкций бесконечное множество, то нам нужно выбирать, что полезно, а что можно отбросить. И этот выбор снова должен быть не субъективный, а опираться на определённые правила. Вкратце, нужно доказать сообществу, что конструкции имеют практическую пользу. Если это было сделано с актуальной бесконечностью, то покажите где? Если такого сделано не было, то есть вероятность, что субъективное мнение было навязано сообществу ненаучными методами.

Albus · Сообщение **Albus** » 20 сен 2023, 11:46

А можно хоть один пример, где используя определение Коши, доказывается, что предел последовательности равен конкретному иррациональному числу, например, $\pi$ или $\sqrt2$ .

Ну для корня можно показать, что квадраты частичных сумм сходятся. Для пи можно взять известный ряд и показать, что разность рядов стремится к нулю

Я думаю, что это невозможно, потому что для доказательства по Коши, нужно в выражение подставлять числа в их цифровой форме. А для иррациональных чисел это сделать нельзя

Это чисто техническая трудность

talash · Сообщение **talash** » 20 сен 2023, 17:21

Vladimir Pliassov, по поводу:

mihaild в сообщении #1610582 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1610581 писал(а):Я сейчас посмотрел доказательство по индукции (http://www.pm298.ru/kbmnozh7.php ) и ничего тонкого не увидел
Потому что это доказательство на самом деле неправильное:)
Попробуйте найти ошибку, если не получится - расскажу (это действительно нетривиальный момент, который нужно специально учиться замечать).
Сформулируйте, какое в точности утверждение там доказывается по индукции?

Вряд ли mihaild имеет ввиду это, но для меня непонятно действие "выберем какой-нибудь из его элементов". Если речь про случайный элемент, то сколько будет в среднем цифр у случайно выбранного элемента из множества натуральных чисел? Если элемент не случайный, то он может быть одним и тем же и тогда разные элементы выбрать нельзя.

Vladimir Pliassov

talash писал(а):Вряд ли mihaild имеет ввиду это, но для меня непонятно действие "выберем какой-нибудь из его элементов".

Есть аксиоме выбора, которую не все признают. Я посмотрел, но не понял, зачем она нужна.

talash писал(а):Если речь про случайный элемент, то сколько будет в среднем цифр у случайно выбранного элемента из множества натуральных чисел?

Наверное, столько же, сколько у среднего арифметического всех натуральных чисел. Думаю, что это

138.

talash писал(а):Если элемент не случайный, то он может быть одним и тем же и тогда разные элементы выбрать нельзя.

Наверное, первый -- случайный среди всех, второй случайный из оставшихся и так далее.

talash · Сообщение **talash** » 20 сен 2023, 21:36

На dxdy была тема, которую удалили, там один заслуженный участник написал следующее:

TOTAL
Re: Счетное множество раз делим отрезки пополам
16.09.2023, 10:41
Заслуженный участник

Мне кажется, что весь "фокус-покус" получается из-за того, что множество (счетное) всех чисел, в двоичной записи которых (после запятой) имеется сколь угодно большое (но конечное для каждого числа) количество знаков под воздействием заклинания "в пределе" неведомым образом превращается во множество чисел с бесконечным числом знаков.

Вот это похоже распространённая ошибка, когда применяют предельный переход для алгоритмов у которых он неопределён, интуитивно выдумывая, что при этом получится.

talash · Сообщение **talash** » 20 сен 2023, 23:47

Albus писал(а):
А можно хоть один пример, где используя определение Коши, доказывается, что предел последовательности равен конкретному иррациональному числу, например, $\pi$ или $\sqrt2$ .

Ну для корня можно показать, что квадраты частичных сумм сходятся.

Согласен. Берём квадраты частичных сумм и доказываем по Коши, что предел последовательности равен 2. Отсюда следует, что предел последовательности без квадратов равен $\sqrt2$ .

Albus писал(а):Для пи можно взять известный ряд и показать, что разность рядов стремится к нулю

А предел для известного ряда как был доказан?

Я думаю, что трансцендентные числа не могут быть получены в предельном переходе. Определения Коши для этого действия не хватает. Если могут, приведите хоть один пример строгого доказательства.

talash · Сообщение **talash** » 21 сен 2023, 23:44

Vladimir Pliassov писал(а):Вот стоит коробка, в ней находится бесконечное множество. Можно заглянуть в нее и обозреть все его элементы -- если, конечно, вы обладаете особым зрением, каким, может быть, обладает бог (не уверен, что даже он обладает). А можно не пытаться их обозреть, а предъявить служителю при этой коробке алгоритм, который идентифицирует интересующей вас элемент, и служитель вам его выдаст. Как он его найдет, это его дело, не будем об этом спрашивать. (На коробке написана общая формула алгоритма нахождения элементов, которые в ней находятся, а вы предъявляете служителю алгоритм с конкретными значениями переменных. Есть, разумеется, и другие коробки, с другими общими алгоритмами нахождения элементов.) При этом будьте уверены, что в коробке найдется элемент, соответствующий любым переменным в формуле алгоритма.

Идея в том, что мы не можем заглянуть туда, за пределы нашего сознания, в недоступную нам часть мира, так и не надо пытаться туда заглянуть, а работать только с теми проявлениями этой недоступной части мира, которые нам доступны.

Может быть, там кто-то и может обозреть все элементы бесконечности (то есть постичь актуальную бесконечность), но здесь мы этого не можем, так и не надо пытаться этого делать. Тем не менее, что-то мы все же можем.

Что если на множество (во всяком случае, на бесконечное) смотреть как на что-то такое:

есть признак и объекты (элементы множества), которые им обладают, и каждый из этих объектов можно найти (идентифицировать), но не надо пытаться все их обозреть?

Кажется здесь и появляется первая проблема теории множеств, ещё до актуальных бесконечностей.
По определению множество это совокупность некоторых элементов. Обычно это числа. Например, множество натуральных чисел. Для этого множества задан алгоритм формирования его элементов. Или множество рациональных чисел. Здесь также можно задать известный алгоритм формирования его элементов. Какое бы определённое рациональное число мы не взяли, оно может быть получено также с помощью этого известного алгоритма. И значит оно уже было в этом множестве.

А с действительными числами эта схема не работает, потому что алгоритмов получения действительных чисел можно придумать неограниченное количество. Следовательно, множества действительных чисел не существует, так как не задан чёткий алгоритм формирования элементов.

Что думаете по этому поводу?

talash · Сообщение **talash** » 22 сен 2023, 10:14

Как мне теперь кажется, абсолютная бесконечность это уже последствия, а первичная проблема теории множеств это нестрогость определений. Хочу оформить к чему в итоге пришёл. Пока предварительная версия(не полная). Нужно ещё подумать и обосновать почему для строгости задания элементов множества должны быть указаны все возможные алгоритмы их получения.

Теория множеств. Где кончается математика и начинается философия.

В моём понимании математика это любые строго определённые и непротиворечивые конструкции. Поскольку таких конструкций может быть неограниченное количество, то нужно выбирать наиболее стройные из них. Конечный критерий отбора это практическая польза.

Поскольку математик сам управляет аксиомами, то он может добиться непротиворечивости для любых конструкций. Но если эти конструкции громоздки, то вряд ли кого-нибудь заинтересуют.

Второй способ получить непротиворечивость это не определять строго понятия, а затем создавать из них конструкции не по строгим правилам, а интуитивно, делая вид, что действия якобы очевидны. Такая забава может привлечь множество сторонников. И при внимательном рассмотрении именно на это похожа теория множеств.

Для бесконечных множеств элементы задают по описанию их свойств. Для натуральных и рациональных чисел такого описания достаточно, чтобы строго определить алгоритмы получения этих чисел и по этим алгоритмам можно строго определить элементы. Например, если мы берём определённое рациональное число, то это же число может быть получено по вышеупомянутому алгоритму и это значит, что оно уже содержалось во множестве рациональных чисел.

Для действительных чисел эта схема не работает. Потому что, исходя из их описания(аксиоматики действительных чисел), невозможно задать все алгоритмы их получения и таким образом строго определить элементы множества. А раз элементы строго не определены, то значит и множества действительных чисел не существует. Нестрогое определение элементов и дальнейшие манипуляции с ними это уже получается философия, а не математика.

Vladimir Pliassov

talash писал(а):По определению множество это совокупность некоторых элементов. Обычно это числа. Например, множество натуральных чисел. Для этого множества задан алгоритм формирования его элементов. Или множество рациональных чисел. Здесь также можно задать известный алгоритм формирования его элементов. Какое бы определённое рациональное число мы не взяли, оно может быть получено также с помощью этого известного алгоритма. И значит оно уже было в этом множестве.

А с действительными числами эта схема не работает, потому что алгоритмов получения действительных чисел можно придумать неограниченное количество. Следовательно, множества действительных чисел не существует, так как не задан чёткий алгоритм формирования элементов.

Как я понимаю, иррациональные числа определяются только через рациональные (даже слово "иррациональное" происходит от слова "рациональное") -- по недостатку и по избытку, без рациональных чисел они не определяются, и для каждого иррационального числа (включая трансцендентные, например,

\pi и

e) уже существует или может быть найден рациональный алгоритм приближения.

Да и само понятие конкретного иррационального числа возникает как "дырка" в множестве рациональных чисел, например, понятие точного квадратного корня из двух.

И вообще, без рациональных чисел не могло бы возникнуть понятие иррациональных.

talash писал(а):алгоритмов получения действительных чисел можно придумать неограниченное количество

Пусть их можно придумать неограниченное количество, но все они будут построены на рациональных числах. Или я ошибаюсь?

talash · Сообщение **talash** » 22 сен 2023, 11:04

Vladimir Pliassov
Ну во-первых, иррациональное число не может быть записано в цифровом формате в точном виде из-за неограниченного количества цифр.
Поэтому, определяться они могут только через различные математические конструкции или алгоритмически, например, $\sqrt2$ , эта запись и есть определение этого числа.
Другой пример, можно определить число $\pi$ , как предел:
$\pi = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{1}^{n}\frac{4(-1)^n}{2n+1}$
Можно определить число $\pi_{15}$ , как такое же как $\pi$ только первые цифры после запятой не 14, а 15. И так далее.

Получается, что так, как Вы написали. Но вообще все числа в конечном итоге получаются из натуральных.

talash · Сообщение **talash** » 22 сен 2023, 11:08

Vladimir Pliassov писал(а):Пусть их можно придумать неограниченное количество, но все они будут построены на рациональных числах. Или я ошибаюсь?

Обратите внимание, я писал, что не самих чисел неограниченное количество, а алгоритмов получения неограниченное количество. Рациональных чисел тоже неограниченное количество, но их все можно получить с помощью одного алгоритма.

Vladimir Pliassov

talash писал(а):Можно определить число \pi_{15}, как такое же как \pi только первые цифры после запятой не 14, а 15. И так далее.

Это я не понял, не могли бы Вы объяснить подробнее?

talash писал(а):Но вообще все числа в конечном итоге получаются из натуральных.

Да, как будто, так (то есть я почти уверен, что это так, но на всякий случай сомневаюсь), я слышал, что, кажется, и теорема об этом есть.

talash писал(а):Обратите внимание, я писал, что не самих чисел неограниченное количество, а алгоритмов получения неограниченное количество. Рациональных чисел тоже неограниченное количество, но их все можно получить с помощью одного алгоритма.

Теперь понял: для получения всех рациональных чисел достаточно одного алгоритма -- "змейкой", а для определения каждого иррационального числа нужен свой, особый алгоритм. Интересная мысль! Правда, алгоритмы определения, во всяком случае, некоторых иррациональных чисел можно распределить по классам, например, выделить классы квадратных, кубических и т.д. корней из натуральных чисел, но если сравнить, скажем, алгоритмы

\sqrt 2,

\pi и

e, то они совсем разные.

А вот такая мысль. Люди в математике начинали с натуральных чисел и к иррациональным пришли через рациональные. Но в природе есть же что-то, что соответствует иррациональным числам, например, что-то, что соответствует

\pi -- отношению длины окружности к диаметру -- и это что-то представляет собой нечто самостоятельное (как и всякий материальный объект), а не произошедшее от чего-то, что соответствует рациональным числам?

Может быть, возможна математика, которая базируется не на натуральных числах, а на чем-то другом?

Мысль не очень ясная, для меня самого тоже, но, может быть, позже прояснится.

Портал Естественных Наук, версия 1.1