Разбираюсь в теме и крепнет такое понимание происходящего:
Основания математики должны быть минималистичны это методологический принцип "Бритвы Оккама". То что сейчас выдаётся за основания математики (Теория множеств плюс неинтуитивный логицизм, который почему-то называется "классическая логика") выглядит как мутная философия. То есть, они оперируют размытыми понятиями, поэтому там как бы нет противоречий.
Любое научное решение должно обосновываться каким-то логическим или методологическим принципом. Ведь так? Почему в конце 19-го века были заменены основания математики? Если вы идёте против Оккама, то на каком основании? История науки говорит прямо, что решение было принято по факту, из-за популярности:
Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти XIX века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1 ... 0%BA%D0%B8
У меня есть такое демаркационное правило:
talash в сообщении #1612286 писал(а):А я пользуюсь таким простым демаркационным принципом. Перед изучением научной темы нужно посмотреть историю, как она стала общепризнанной. Если происходила борьба идей, когда с каждой стороны были большие группы учёных и в результате борьбы осталась одна из идей, то должен быть указан общий критерий из логики или научной методологии на основании которого победа досталась одной из групп. Если такового критерия обнаружить не можем, то возникает закономерное подозрение, что консенсус был принудительный и победившая идея может быть ложной.
Поэтому, для глубокого изучения математики от оснований, буду опираться на правильные основания, а извлечь их наверное можно из работ Пуанкаре.
На форуме dxdy в мою тему про актуальную бесконечность пришёл mihaild с собственным видением про теорему Кантора. А то что до этого писал epros, это был "жаргон".
talash в сообщении #1614099 писал(а):Про предельный переход в этой теореме также написал epros
Это был жаргон. На самом деле никакого предела там нет, а есть обыкновенное пересечение семейства множеств.
Mihaild видимо выше по иерархии и может поправлять epros-а. Неприятно конечно, когда тебя поправляют, поэтому можно нахамить тому кто ниже в иерархии, то есть, мне.
epros в сообщении #1614114 писал(а):Или, скорее, Вы нам здесь просто намеренно мозги пудрите.
Как я и ожидал, когда заводил тему здесь, что общение на форуме dxdy будет контрпродуктивным, там требуется подчинение иерархии "заслуженных участников", а логика на втором месте.
Побеседовал однако с BingAI про эту теорему. Никаких замечаний к моей логике у него нету(а он умеет их делать, уже не раз убеждался). Но он всё равно настаивает, что доказательство Кантора верно. Хотя я с ним и не согласен, но очень круто ведёт беседу, как человек, только вежливый.
Приведи доказательство, что множество действительных чисел несчётно, используя лемму о вложенных отрезках.
BingAI: Searching for: proof that the set of real numbers is uncountable using the nested interval lemma
Доказательство того, что множество действительных чисел несчётно, используя лемму о вложенных отрезках, основывается на противоречии. Мы предполагаем, что интервал [0, 1] счётен, то есть мы можем перечислить его элементы как {x1, x2, x3…xn…}. Затем мы выбираем замкнутый подинтервал I1 из I такой, что x1 ∉I1, затем выбираем замкнутый подинтервал I2 из I такой, что x2 ∉ I2 и так далее. Таким образом, мы получаем непустые замкнутые интервалы I1 ⊇ I2 ⊇… ⊇In ⊇… такие, что In ⊆ I и xn ∉ In для всех n. Лемма о вложенных отрезках подразумевает, что существует точка ξ ∈ In для всех n. Следовательно, ξ ≠xn для всех n ∈ N, поэтому перечисление I не является полным списком элементов I, как утверждалось. Следовательно, I является несчётным множеством1.
Используем ли мы в этом доказательстве предельный переход?
BingAI: Да, в этом доказательстве используется предельный переход. Лемма о вложенных отрезках гарантирует, что существует хотя бы одна точка, которая принадлежит всем интервалам. Эта точка является пределом последовательности вложенных интервалов. Это ключевой момент в доказательстве, который позволяет нам утверждать, что существует число, которое не входит в наше предполагаемое счётное перечисление действительных чисел.
Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности, и два шага процедуры: 1. Выбор точки из множества в зависимости от аргумента n. 2. Построение системы вложенных отрезков в зависимости от выбранной точки. ?
BingAI: Да, вы правильно поняли. В этом доказательстве используется аргумент n, стремящийся к бесконечности. Это позволяет нам построить систему вложенных отрезков, каждый из которых исключает одну точку из предполагаемого счётного перечисления действительных чисел. При этом каждый следующий отрезок выбирается таким образом, чтобы исключить следующую точку в перечислении. Таким образом, мы получаем систему вложенных отрезков, каждый из которых исключает одну точку из перечисления. Предел этой системы вложенных отрезков дает нам точку, которая не входит в наше предполагаемое счётное перечисление действительных чисел, что приводит к противоречию.
Первый пункт можно обозначить функцией f(n), которая возвращает точку из множества. С учётом второго пункта это будет сложная функция g(f(n)), функция g возвращает длину отрезка? Совершив предельный переход, мы рассчитываем получить отрезок нулевой длины, то есть точку, которой нет в исходном множестве?
BingAI: Да, вы правильно поняли. Функция f(n) выбирает точку из множества, а функция g(f(n)) строит систему вложенных отрезков, исключая выбранную точку. При стремлении n к бесконечности, мы получаем систему вложенных отрезков, которые сужаются до одной точки. Эта точка является пределом системы вложенных отрезков и не входит в наше предполагаемое счётное перечисление действительных чисел, что приводит к противоречию. Таким образом, мы доказываем, что множество действительных чисел несчётно.
Но предельный переход для этой сложной функции неопределён, потому что не определён предельный переход для функции f(n).
BingAI: Вы правильно заметили, что функция f(n) не имеет определенного предела, поскольку она выбирает произвольную точку из множества на каждом шаге. Однако ключевой момент в этом доказательстве заключается в том, что мы используем эту функцию для построения системы вложенных отрезков, которая сужается до одной точки при стремлении n к бесконечности. Эта точка является пределом системы вложенных отрезков и не входит в наше предполагаемое счётное перечисление действительных чисел, что приводит к противоречию. Таким образом, мы доказываем, что множество действительных чисел несчётно.
Если рассмотреть всю эту процедуру, то она непохожа на предел, потому что мы не приближаемся к решению. В самом деле, конечное решение это существование точки, не принадлежащей нашему множеству. С каждым шагом отрезок, в котором нет точек из нашего множества становится всё меньше, а в нашем множестве ещё бесконечность чисел. На триллионном шаге отрезок совсем крохотный, а у нас в запасе в нашем множестве всё та же бесконечность чисел. И только добравшись до актуальной бесконечности вдруг оказывается, что числа в нашем множестве кончились, а отрезок превратился в точку, которой не было в нашем множестве.
BingAI: Вы правильно понимаете, что процесс построения системы вложенных отрезков не является процессом приближения к решению в традиционном смысле. Вместо этого, мы используем этот процесс для создания противоречия, которое доказывает, что множество действительных чисел несчётно.
Ключевой момент здесь заключается в том, что, несмотря на то, что каждый отрезок становится все меньше и меньше с каждым шагом, мы никогда не исчерпаем все действительные числа в интервале [0, 1]. Это связано с тем, что действительные числа являются непрерывным множеством, и между любыми двумя действительными числами всегда существует другое действительное число.
Таким образом, когда мы достигаем “актуальной бесконечности”, как вы выразились, мы обнаруживаем, что все действительные числа в интервале [0, 1] не были перечислены в нашем предполагаемом счётном перечислении. Это приводит к противоречию и позволяет нам заключить, что множество действительных чисел несчётно.