Максимальный треугольник

[Albus]

Пусть есть выпуклый многоугольник (или выпуклая замкнутая кривая), в который вписан треугольник максимальной площади. Найти минимально возможную площадь данного треуголька (выраженную в долях от площади многоугольника)

[Ian]

Похоже что [math]\frac 12. Но доказать будет непросто

[ARRY]

Это старая задача 15-летней давности, рассмотренная на этом же форуме (старом ПЕН).
Доказывается довольно легко, что площадь такого треугольника будет не меньше четверти площади многоугольника.
А вот для выпуклой замкнутой кривой невозможно доказать существование такого максимального треугольника.
Если хотите, можно поискать ту тему. Навскидку, 2008 или 2009 годы.

[Ian]

1/4, в роли грубой оценки снизу, получить легко. Рассмотрим диаметр области. Из выпуклости - она лежит в полосе такой, что диаметр реализует ее ширину. Вырежем из полосы двумя параллельными отрезками минимальный прямоугольник, содержаший область. Треугольник с основанием -этот диаметр, и высотой в ту или другую сторону, имеет площадь не менее 1/4 прямоугольника , и значит не менее 1/4 площади области
Тогда на форуме были наивны но и то вряд ли верили что 1/4 здесь играет роль. Что-нибудь еще говорили?
---
Существование максимального треугольника для любой замкнутой кривой. Трижды декартово умножим область саму на себя. получим компакт в 6-мерном пространстве. Площадь- непрерывная функция тройки вершин, имеет максимум и достигает его.

[Ian]

Похоже что [math]\frac 12. Но доказать будет непросто

Тут я неправ. [math]\frac {3\sqrt 3}{4 \pi}\sim 0,413497<\frac 12 А на вид треугольник в круге показался больше чем треугольник в квадрате (