Странная непрерывная дробь

[Ian]

[math]\xi=\frac{s_{1}}{r_{1`}+\frac{s_{2}}{r_{2`}+\frac{s_{3}}{r_{3`}+...}}},\;r_{n}=2\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}},\;s_{n}=-\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}
n-й подходящей дробью [math]\xi_{n} для него называется обычная дробь (имеющая один числитель и один знаменатель), получаемая таким образом: принудительно заменяется [math]s_{n-1} на 0, и таким образом остается только выражение содержащее только [math]s_{1},r_{1},...r_{n-2},s_{n-2}. Это выражение последовательно сворачивается снизу (приведение к общему знаменателю; домножение числителя на знаменатель знаменателя - этим сокращен этаж ...- и так далее пока не останется два этажа. Например, 4-я подходящая дробь [math]\xi_{4}=\frac{s_{1}r_{2}}{r_{1}r_{2}+s_{2}}=\frac{a_{4}}{b_{4}}
Пока не были определены 1-я и 2-я подходящая дроби, так вот доопределяем:[math]\xi_{1}=\frac{1}{0}\;;\;\xi_{2}=\frac{0}{1}и значит [math]a_{1}=b_{2}=1,\;a_{2}=b_{1}=0 (Мне именно такой сдвиг по индексам удобен, специалисты, извините, немного непривычно)
Аналогично теории традиционных непрерывных дробей, числители и знаменатели подходящих дробей образуют фундаментальную систему решений одного разностного уравнения(это сложная лемма, но могу доказать):
\begin{cases}
\begin{array}{ccccc}
a_{n+2} & = & r_{n}a_{n+1} & + & s_{n}a_{n}\\
b_{n+2} & = & r_{n}b_{n+1} & + & s_{n}b_{n}
\end{array} & n=1,2,...\end{cases}
Никто не обещал, что в таких условиях подходящие дроби обязаны куда-то сходиться. Но сходятся :
[math]a_{n}\to-\infty,\;b_{n}\to+\infty,\;\frac{a_{n}}{b_{n}}\to\xi=-0,53894593...
Вопрос в том, что это за кси такое, не связано ли оно с известными трансцедентными числами?

[Ian]

Тут еще такая сложность. Чтобы дробь сделать более похожей на нормальную, хорошо бы превратить все [math]s_n в единицы (ну пока хоть в минус единицы). Для каждой дробной черты -такие множители , на которые надо умножить сверху и снизу черты -находятся. Но они сильно разные, четные от нечетных, и соответственно получаемые [math]r_n тоже мигающие. Хотя значения всех подходящих дробей от такой операции не меняются,и они по-прежнему монотонно убывая сходятся к [math]\xi

[zykov]

Source of the post Вопрос в том, что это за кси такое, не связано ли оно с известными трансцедентными числами?

Кто ж его знает.
Всё может быть...

[math]r_n довольно быстро сходится к 2, а [math]s_n к -1.
Такая дробь (с "2" и "-1") сходится к 1.
Т.е. "хвост" исходной дробы ([math]2-\frac{1}{2-...}) аппроксимруется "1". Ну а начало надо считать.

Source of the post принудительно заменяется [math]s_{n−1} на 0

Лучше заменить дробь на "-1".
Будет [math]r_{n-2}-1

[zykov]

Попробовал численно, хвост не так уж быстро к "-1" стремится.
На уровне 5000 хвост где-то "-0.9804419511".
На уровне 1000 хвост где-то "-0.957440499".

А значение

Код: Выбрать все

-0.538945932281939983655090592906138746275040487204890077177609256589296767657

определяется началом дроби.

[Ian]

А значение

Код: Выбрать все

-0.538945932281939983655090592906138746275040487204890077177609256589296767657

определяется началом дроби.

Спасибо, много знаков пригодится!
Есть еще одна трудность -верно ли, что [math]a_n-b_n\xi \to 0 ? Интересует именно теоретическое доказательство. Численно это вроде очевидно.
Пока доказал, что аналог определителя Вронского
[math]W_{n}=\begin{vmatrix}a_{n} & b_{n}\\
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{vmatrix}=b_{n+1}a_{n}-a_{n+1}b_{n}=n^2>0
отсюда монотонность сходимости:
[math]\frac{a_{n}}{b_{n}}\to\xi, с убыванием.

[zykov]

Source of the post Есть еще одна трудность -верно ли, что [math]a_n−b_n \xi\to 0?

Вроде нет.
При 10 получается [math]10^8.
При 30 получается [math]10^{57}.
При 100 получается [math]10^{299}.

[zykov]

Эта дробь не является цепной дробью.
Поэтому там нет оптимальности приближения.

Если взять 10000 шагов, то будет дробь, где числитель и знаменатель будут иметь 71129 десятичных знаков.
Если это число разложить в цепную дробь, то будет

Код: Выбрать все

[-1,2,5,1,11,2,1,2,2,2,3,2,6,4,2,5,4,5,2,2,8,1,24,1,4,4,1,1,2,1,1,1,1,2,1,6,2,8,12,1,1,2,3,2,1,1,2,1,17,1,1,2,1,2,1,1,15,2,2,6,70,1,1,7,3,5,3,1,21,2,4,1,12,1,2,1,4,1,4,1,2,336,4,1,1,3,128,1,1,1,1,1,4,4,5,1,1,1,1,2,6,2,36,12,1,6,2,4,1,1,1,1,2,6,3,1,4,2,20,1,1,3,3,1,5,2,14,1,3,6,1,1,2,1,33,5,1,3,1,1,7,3,1,9,1,4,2,1,1,48,5,1,44,1,6,7,1,1,19,15,1,1,1,2,18,1,5,7,2,1,44,16,1,6,1,1,1,1,3,17,1,4,3,11,4,24,7,1,115,1,4,1,1,1,2,8,1,11,1,6,12,3,2,1,3,10,9,16,10,2,2,1,1,4,4,216,1,3,20]

Если эту цепную дробь привести к общему знаменателю, то будет по 115 десятичных знаков

Код: Выбрать все

-54117837056866659452723134067899402740759545352514814504865214025317804181750740549956305345087530670661582448644544
/
100414223051517299599618697148917839838285985510813412629211598768829340741497165838036086808780878090915957726807583

Вот тут уже будет [math]a-b\xi порядка [math]10^{-116}

[Ian]

Source of the post Есть еще одна трудность -верно ли, что [math]a_n−b_n \xi\to 0?

Вроде нет.
При 10 получается [math]10^8.
При 30 получается [math]10^{57}.
При 100 получается [math]10^{299}.

Мы разные вещи считаем??

Код: Выбрать все

n   a_n   b_n   xi_n   a_n-b_n*xi
1   1   0      1
2   0   1      0,538945932
3   -4   8      -0,5       0,311567458
4   -18   33,75   -0,533333333   0,189425215
5   -56,88888889   105,7777778   -0,537815126   0,11961417
6   -149,6527778   277,8211806   -0,538665833   0,077817384
7   -349,08           647,805           -0,538865862   0,051869662
8   -746,5792747   1385,323671   -0,538920463   0,03528264
9   -1494,306677   2772,692038   -0,538937125   0,024418766
10   -2837,574381   5265,076451   -0,538942674   0,01715541
11   -5161,533439   9577,112177   -0,538944657   0,012212412
12   -9057,44592   16805,86896   -0,538945409   0,008795992
13   -15415,56702   28603,19097   -0,538945708   0,006402135
14   -25553,84232   47414,49093   -0,538945833   0,00470416
15   -41394,40859   76806,24269   -0,538945887   0,003486462
16   -65703,41502   121910,963   -0,538945911   0,00260445
17   -102414,1328   190026,7331   -0,538945922   0,00195975
18   -157058,9135   291418,6851   -0,538945927   0,001484569
19   -237342,5497   440382,8597   -0,53894593   0,001131632
20   -353898,3122   656649,0104   -0,538945931   0,000867621
21   -521278,7531   967219,0151   -0,538945932   0,000668819
22   -759246,7614   1408762,394   -0,538945932   0,000518194
23   -1094448,863   2030721,076   -0,538945932   0,000403409
24   -1562573,058   2899313,206   -0,538945932   0,00031546
25   -2211118,371   4102671,972   -0,538945932   0,000247723
26   -3102933,684   5757411,826   -0,538945932   0,000195299
27   -4320720,515   8016983,256   -0,538945932   0,000154533
28   -5972739,431   11082260,9   -0,538945932   0,000122687
29   -8200014,464   15214911,13   -0,538945932   9,76948E-05
30   -11185396           20754208,04   -0,538945932   7,79871E-05
31   -15164922,46   28138114,7   -0,538945932   6,23688E-05
32   -20442017,12   37929625,03   -0,538945932   4,99226E-05
33   -27405172,18   50849576,07   -0,538945932   3,99314E-05
34   -36549910,51   67817397,48   -0,538945932   3,18438E-05
35   -48505981,69   90001573,04   -0,538945932   2,52128E-05
36   -64070947,03   118881956,8   -0,538945932   1,96993E-05
37   -84251544,84   156326525,1   -0,538945932   1,49757E-05
38   -110314508,7   204685669   -0,538945932   1,08629E-05
39   -143848846,2   266907750   -0,538945932   7,09295E-06
40   -186841982,2   346680383   -0,538945932   3,54648E-06
41   -241772642,4   448602778,1   -0,538945932   0


Правда у меня методическая ошибка, вместо [math]\xi брал [math]\xi_{41}(знаки все равно режутся) но не должно сказаться

[zykov]

У меня [math]a и [math]b целые.
Получаются после упрощения высокой дроби.

[Ian]

Я имею в виду [math]a_n,b_n-решения конкретной рекуррентности из поста 1 с конкретными начальными условиями. Они дробные. Собственно сначала возникли только они и именно такие. А рекуррентность оказалась похожа на ту которая задает непрерывную дробь.