Сходящаяся рекурентная последовательность

[zykov]

Найти [math]a_1, такие что последовательность [math]a_{n+1}=(2+\frac2n)a_n-1 сходится.

[Ian]

[math]2\ln 2-1 ~ 0,38629436
Это сумма ряда [math]\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{2^k(k+1)}

[zykov]

Да.
Уже знакомая задача?

[Ian]

Совершенно незнакомая. Сначала численно нашел 6-8 знаков, потом стал искать, не похоже ли это на значение некоторой элементарной функции (а неплохо бы учредить "онлайн- энциклопедию действительных чисел" где и это число было бы. На первых местах, конечно, е и пи)
Но есть и строгое решение. Найдем линейное представление [math]a_n=x_na_1-y_n, получается [math]x_n=n2^{n-1}, [math]y_n чуть сложнее через ряд, и ясно что [math]\frac{y_n}{x_n}\to a_1

[zykov]

Да, там можно выразить [math]a_n в виде суммы, благодаря тому что там телескопические произведения возникают ([math]2+\frac2n=2\frac{n+1}{n}).