Euler brick - 4

[zykov]

На другом форуме возник вопрос, существует ли Euler brick размерности 4?
Euler brick размерности 3 существует много, например (44, 117, 240).
Это когда все три пары составляют катеты треугольника с целочисленной гипотенузой.

Вопрос, существуют ли четверки натуральных чисел, так чтобы все 6 пар давали целочисленную гипотенузу?
Пробовал на компьютере поискать. Где-то до 150М дошел, ни одной четверки не нашел.
Можно ли доказать, что таких четверок нет?

Там на википедии упоминается perfect cuboid, это когда в Euler brick ещё и сумма всех трёх является квадратом целого.
Там пишут, что до сих пор неизвестно, существуют ли они. Видимо трудно доказать. Возможно, тут тоже трудно.

[Ian]

Квадрат числа либо делится на 4, либо 8k+1. Отсюда - в четверке не более одного нечетного числа. И получается что несократимая четверка - это некий известный эйлербрик помноженный на 4 + еще одно нечетное (если оно найдется).

[zykov]

Source of the post это некий известный эйлербрик помноженный на 4

Если речь про примитивный эйлербрик, то он умножен на [math]4k.

Source of the post еще одно нечетное

Да. При этом это нечётное входит в 3 других эйлербрик как нечётное (каждый примитивный эйлербрик состсоит из двух чётных и одного нечётного). Правда необязательно в примитивные, это могут быть примитивные умноженные на нечётное число.