Портал Естественных Наук, версия 1.1

Казалось бы, зачем эта первая фраза про сферу, такая сфера существует всегда, и что это дает. Однако, мне кажется , она играет роль подсказки. Мне хочется дать этой задачке какой-нибудь приз за красоту, хотя и не сложная, но неожиданная, например числа не зра так подобраны, они обеспечивают единственность ответа.

Ian писал(а):Source of the post такая сфера существует всегда

Разве?
Вот возьмём треугольник [math]ABC. У него есть единственная вписанная окружность с центром [math]O.
Если провести перпендикуляр к [math]ABC через [math]O, то любая точка этой линии будет центорм некоторой сферы касающейся всёх трёх рёбер [math]ABC. Но вообще говоря, эти сферы как правило не будут касаться рёбер из [math]D. Какая-то (или какие-то) из этих сфер будут например касаться ребра [math]AD, но при это в общем случае они не будут касаться рёбер [math]BD и [math]CD.
Так что это особый тетраэдр, у которого есть такая сфера.

Если взять точки касания на рёбрах, то расстояние от вершины до этих точек на трёх рёбрах выходящих из этой вершины равны.
Т.е. будет всего 4 степени свободы: [math]a, b, c, d.
Так что например [math]AB=a+b, AD=a+d, BC=b+c, ....
Есть две связи [math](a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)=(b+c)(a+d) и ещё два условия [math]a+b=3, b+c=1.
Остаётся только решить алгебраическую систему.

Maxima выдаёт два ответа:
[math][a=\frac{3}{2},b=\frac{3}{2},c=-\frac{1}{2},d=\frac{3}{2}],[a=\frac{5}{2},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2},d=\frac{1}{2}]
Один: [math]AB=3, BC=1, AC=1, AD=3, BD=3, CD=1
Второй: [math]AB=3, BC=1, AC=3, AD=3, BD=1, CD=1

Если отбросить первый вариант, т.к. там [math]c<0, что значит что точка касания не внутри отрезка ребра, а на него продолжении, то останется только [math]AC=3.

Действительно, сфера существует не всегда. А в остальном у меня точно такое же решение. Спасибо!
Только решение АС=1 отбрасывается потому, что нарушится неравенство треугольника АС+BC>AB

zykov писал(а):Так что это особый тетраэдр, у которого есть такая сфера.

Это просто тетраэдр, у которого суммы противоположных ребер для каждой пары одинаковы (в наших обозначениях [math]a+b+c+d ). А раз и произведения одинаковы, то это одни и те же пары. Во всех вариантах получается правильная пирамида с ребрами 1,1,1,3,3,3 а одна из них не существует, значит остается другая.
И раз существует более простое решение,чем наше , то приз за красоту это слишком, но неожиданность имела место