Портал Естественных Наук, версия 1.1

Будем рассматривать неправильные $n$

-мерные параллелограммы ( $2^n$

-угольники). И пусть угол между любыми ребрами не превышает $90-\varepsilon$ , где $\varepsilon >0$ , а также длина ребра не превышает заданного $L$

. $\varepsilon >0$ и $L$

выбираются заранее и не зависят от $n$

. Докажите, что $n$

-мерный гиперобъем параллелепипеда стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$

Имеется в виду , что параллелепипед натянут на n векторов и угол между каждыми двумя не превышает

90-\varepsilon.? (Потому что все 4 угла параллелограмма не могут такими быть)
Можно применить отображение, проводящее ортогонализацию этой системы из n векторов (это известный процесс, проводимый в двух вариантах - с нормировкой и без. Нам нужен тот- который без нормировки). Тогда этот параллелепипед перейдет в равновеликий прямоугольный параллелепипед. Потому что преобразование базиса, задаваемое формулами ортогонализации, для всех k не меняет k- мерный объем, натянутый на первые k векторов. И посчитать, какие длины будут иметь ребра (оценить длины ребер по формулам ортогонализации)

Хотя что это я. Не применял определитель, так как не знал как его обосновать. Отображение этого параллелепипеда в единичный куб линейное, его якобиан постоянный, поэтому объем равен интегралу по кубу от якобиана, то есть просто якобиану. Но это определитель отображения с матрицей А, переводящего стандартеый базис в данные вектора. А составлена из компонент векторов, тогда

A^TA это матрица Грама системы, и ее определитель это квадрат объема. Но что-то в простейшем случае, все углы равны, все ребра равны, у меня не стремится к 0.

Albus писал(а):Source of the post что -мерный гиперобъем параллелепипеда стремится к нулю

Достаточно рассмотреть частный случай, когда все стороны равны 1, а все углы равны друг другу и равны $\alpha = 90 - \epsilon$ .
Из него легко следует общий случай.

Возьмём единичный гиперкуб с координатами вершин 0 или 1 (рёбра образуются векторами у которых одна компонента 1, все другие 0).
Сначала растянем его вдоль оси $(1,1,...,1)$

в

раз, так чтобы все углы стали равны $\alpha$ . При этом гиперобъем увеличится в $k$

раз, стороны получат длину $a$

.
Потом равномерно сожмём его к центру, так чтобы стороны получили длину $1$

. При этом гиперобъем уменьшится в $a^n$

раз.

При растяжении вектора рёбер преобразуются так, что компонента 1 станет $1+\frac{k-1}{n}$ , а компонента 0 станет $\frac{k-1}{n}$ .
Тогда $a^2 = (n-1)(\frac{k-1}{n})^2 + (1+\frac{k-1}{n})^2 = \frac{n+k^2-1}{n}$ .
И $a^2 \cos \alpha = (n-2)(\frac{k-1}{n})^2 + 2(\frac{k-1}{n})(1+\frac{k-1}{n})$ .
Из второго можно найти $k$

, как корень квадратного уравнения.
При больших $n$

оно примерно будет $k \approx \sqrt \frac{n \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}$ .

Объем будет $V = \frac{k}{{{\left( \frac{n+{{k}^{2}}-1}{n}\right) }^{\frac{n}{2}}}}$
При больших $n$

он примерно равен $V \approx \sqrt \frac{n \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} (1 - \cos \alpha)^{n/2} \sim \sqrt n q^n$ , где $q = \sqrt{1 - \cos \alpha}$ .
Т.е. этот объем стремится к 0.

Albus писал(а):Source of the post известного факта, что -мерный гиперобъем шара стремится к нулю

Тут уместнее говорить о том, что отношение объема гипершара к объёму описанного вокруг него гиперкуба стремится к нулю.
Объёмы при разных измерениях имеют разную размерность величины и поэтому несравнимы. А отношение объёмов - безразмерная величина.

Просьба ко всем участникам писать понятнее (и к себе тоже).

zykov писал(а):Достаточно рассмотреть частный случай, когда все стороны равны 1

Со сторонами 1 -то и у меня получилось. Даже точный объем.

zykov писал(а):Возьмём единичный гиперкуб с координатами вершин 0 или 1 (рёбра образуются векторами у которых одна компонента 1, все другие 0).
Сначала растянем его вдоль оси в раз, так чтобы все углы стали равны $\alpha$ .

Так уж и все? О каком количестве углов идет речь?

Речь идёт о гиперкубе - все $2^n$

вершин, все возможные координаты из 0 и 1. Каждое рёбро направлено вдоль соответстующей оси координат - всего $n$

направлений, $n$

векторов из нулевого центра в точки $(1,0,0,...,0)$

,

и т.д. Большая диагональ равна сумме этих $n$

векторов. Вдоль неё и растягиваем.

Ian писал(а):Source of the post Со сторонами 1 -то и у меня получилось

Так в чём проблема?
Если рёбра вдоль какого-то напрваления были 1 и их растянули до $L$

, раздвигая противоположенные грани, то и объем увеличится в $L$

раз. Проще не бывает.

С углами тоже интуитивно понятно, что если взять углы меньше, то высота будет меньше и объём будет меньше. Поэтому для максимизации объема нужно брать все углы по максимуму.

Кто-нибудь может дать точную строгую формулировку. что мы решаем? Вот моя версия. В n - мерном пространстве даны n линейно независимых векторов

v_1,...v_n. Параллелепипедом (ну слово параллелограмм тоже уместно, это на любителя), натянутым на эти вектора, называется множество точек

\sum_{k=1}^nC_kv_k,\; 0\leq C_k\leq 1. Если известно, что

|v_k|\leq 1, то этот параллелепипед вложен в параллелепипед , натянутый на единичные вектора

\frac {v_k}{|v_k|} и можно сразу решать для него. В этом случае углы между векторами исходной системы

\alpha_{kj}=\arccos (v_k,v_j). Пусть известно, что все

\alpha_{kj}\leq \alpha=90^o-\varepsilon <90^o. Тогда объем параллелепипеда стремится к 0 по n
Так? Кто решал другую задачу? Я сначала решал другую, с

|v_k|\leq L

Понятно.
Да, при больших $L$

собственно последовательность гиперобъёмов может стремится к бесконечности (там может быть множитель $L^n$

, который может компенсировать $q^n$

).
Поэтому я рассматривал не последовательность гиперобъёмов, а последовательность отношений гиперобъёмов, как для гипершара.

zykov писал(а):С углами тоже интуитивно понятно, что если взять углы меньше, то высота будет меньше и объём будет меньше. Поэтому для максимизации объема нужно брать все углы по максимуму.

Хотелось бы не интуитивно. У меня свелось к вопросу, будет ли

V_n^2=det(\cos\alpha_{kj})\to 0

Ian писал(а):Source of the post Хотелось бы не интуитивно

Если предположить, что максимум возникает при каком-то угле меньше максимального, то на том же основании можно построить другой параллелепипед, с бОльшим углом, который будет иметь бОльшую высоту и соответвенно бОльший объём. Противоречие.

Почему можно? Мы хотим изменить угол между данными векторами, не изменяя их углов с остальными векторами. Как? изменяя один из них? там на него тогда n уравнений, считая условие сохранения единичной длины.Почему они разрешимы?

Мы вращаем только один вектор.
Максимальная высота будет при максимальных углах.

Да я понимаю, что решения Ваше пост4 и мое пост 3 похожи и значит должны приводить к одинаковому ответу, точной формуле для максимального объема, у меня это

\sqrt{det(v_i,v_j)}=\sqrt{(1-\cos\alpha )^{n-1}(1+(n-1)\cos\alpha )}, так почему бы Вам Ваше преобразование не представить в терминах преобразования матрицы, не уменьшающего определителя? Точной формулы у Вас в посте 4 не получилось, а тут получилась

Здравствуйте) У меня заглючил мой основной акк Albus, не отправляются сообщения, так что решил создать второй (он кстати тоже после первого сообщения больше не отправляет - тут такой интервал отправки сообщений (кстати какой?) или у меня какой-то глюк?)

Ian писал(а):Имеется в виду , что параллелепипед натянут на n векторов и угол между каждыми двумя не превышает 90-\varepsilon.? (Потому что все 4 угла параллелограмма не могут такими быть)

В частности, да, но я имел ввиду более общий случай, когда у нас произвольная фигура с $2^n$

-вершинами (как ее назвать то?)

Ian писал(а):Хотя что это я. Не применял определитель, так как не знал как его обосновать. Отображение этого параллелепипеда в единичный куб линейное, его якобиан постоянный, поэтому объем равен интегралу по кубу от якобиана, то есть просто якобиану. Но это определитель отображения с матрицей А, переводящего стандартеый базис в данные вектора. А составлена из компонент векторов, тогда A^TA это матрица Грама системы, и ее определитель это квадрат объема. Но что-то в простейшем случае, все углы равны, все ребра равны, у меня не стремится к 0.

Да, параллелограмм можно аффинными преобразованиями перевести в куб

Тогда надо немного переформулировать - чтобы никакие ребра не были параллельны, т.е. угол между любыми отрезками, лежащими в одной плоскости, был больше $\varepsilon$
С симплексом вроде все очевидно, если только условие на максимум длины ребер.[/quote]

zykov писал(а):Тут уместнее говорить о том, что отношение объема гипершара к объёму описанного вокруг него гиперкуба стремится к нулю.
Объёмы при разных измерениях имеют разную размерность величины и поэтому несравнимы. А отношение объёмов - безразмерная величина.

Вообще-таки сам объем тоже стремится к нулю

В математике гиперобъем безразмерная величина (ну или можем его измерять в объемах гиперкубов с единичными длинами)

Ian писал(а):Кто-нибудь может дать точную строгую формулировку. что мы решаем? Вот моя версия. В n - мерном пространстве даны n линейно независимых векторов v_1,...v_n. Параллелепипедом (ну слово параллелограмм тоже уместно, это на любителя), натянутым на эти вектора, называется множество точек \sum_{k=1}^nC_kv_k,\; 0\leq C_k\leq 1. Если известно, что |v_k|\leq 1, то этот параллелепипед вложен в параллелепипед , натянутый на единичные вектора \frac {v_k}{|v_k|} и можно сразу решать для него. В этом случае углы между векторами исходной системы \alpha_{kj}=\arccos (v_k,v_j). Пусть известно, что все \alpha_{kj}\leq \alpha=90^o-\varepsilon <90^o. Тогда объем параллелепипеда стремится к 0 по n
Так? Кто решал другую задачу? Я сначала решал другую, с |v_k|\leq L

Когда длины единичные, все просто

Я имел ввиду более общую задачу, когда стороны только ограничены максимальной неединичной длиной $L$

. Тут походу надо не параллелограмм рассматривать, а более "непараллельную" фигуру. Вот для симплекса же работает, и для шара

Нет все-таки

L^n\sqrt{(1-\cos\alpha )^{n-1}(1+(n-1)\cos\alpha )} к нулю не стремится
Это не симплекс, который занимает

\frac 1{n!} объема соответствующего прямоугольного параллелепипеда.

Да, для параллелепипида с большим $L$

к нулю не стремится.
Тут нет факториала, как для шара или симплекса.

Albus. писал(а):Source of the post Вообще-таки сам объем тоже стремится к нулю

Для шара последовательность формально стремится к нулю при любом выборе единиц измерения.
Но это не отменяет некорректности сравнения.
Живой пример - тот же параллелепипед. Если стророна 0.5м, то последовательность стремится к нулю. Если та же строна - 50см, то последовательность стремится к бесконечности.

Albus. писал(а):Source of the post В математике гиперобъем безразмерная величина

Это не верно.
Обычно в геометрии опускают конкретизацию единиц измерения, но только по той причине, что рассматриваются геометрические свойства инвариантные относительно преобразования равномерного растяжения (углы, отношения длин).
Здесь, соотношение между разными членами последовательности не будет сохранятся при растяжении.
Другой пример - задача построения квадратного корня длины при помощи циркуля и линейки. Тут требуется явно задать отрезок единичной длины.

Ian писал(а):Source of the post почему бы Вам Ваше преобразование не представить в терминах преобразования матрицы, не уменьшающего определителя?

Матрицы там тривиальные (растяжение вдоль одной оси, равномерное сжатие к центру) и ничего нового не дают.

Ian писал(а):Source of the post Точной формулы у Вас в посте 4 не получилось

Она есть, только явно не выписана, т.к. целью была асимптотика. Выразите $k$

как точный корень квадратного уравнения $\frac{n+k^2-1}{n} \cos \alpha = (n-2)(\frac{k-1}{n})^2 + 2(\frac{k-1}{n})(1+\frac{k-1}{n})$ .
Будет $k = \sqrt{\frac{1+(n-1)\cos \alpha }{1-\cos \alpha}}$ .
Подставьте в формулу для $V$

и получится $V = k (1-\cos \alpha)^{n/2}$ .

Портал Естественных Наук, версия 1.1

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем

n-мерный объем