Олимпиада МФТИ для 11кл

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Олимпиада МФТИ для 11кл

Сообщение Ian » 07 мар 2021, 19:00

2.Рассмотрим всевозможные тетраэдры [math], в которых [math]. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на боковой поверхности, причем ребро [math] было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из полученных. Какие значения может принимать величина [math] в таком тетраэдре?
За 40 минут на мой взгляд невозможно было это решить(

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Олимпиада МФТИ для 11кл

Сообщение zykov » 07 мар 2021, 21:49

Да вроде тут просто.
Рассмотрим плоскость перпендикулярную оси цилиндра, в которой лежит отрезок $AB$.
Обе точки $C$ и $D$ проецируются в одну точку $X$ на этой плоскости. Сечение цилиндра этой плоскостью - это окружность описанная около равнобедренного треугольника $ABX$. Очевидно, что радиус минимален, если $AB$ - это диаметр, а сам радиус равен $2$.
Тогда $AX=BX=2\sqrt 2$.
Тогда $CX=\sqrt{5^2-8}=\sqrt{17}$ и $DX=\sqrt{6^2-8}=\sqrt{28}=2\sqrt 7$.
Значит $CD=2\sqrt 7 \pm \sqrt{17}$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Олимпиада МФТИ для 11кл

Сообщение peregoudov » 17 мар 2021, 10:31

Ну, я все-таки отделил дискуссию по http/https в отдельную тему, пусть этот факт будет зафиксирован с соответствующем разделе.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей