Здраствуйте.
Заинтересовалась такой задачей.
Известно, что стороны треугольника заключены в следующих пределах:
[math]
Какая может быть максимальная площадь такого треугольника?
Как подступиться к решению?
Если взять две стороны по максимуму: [math], то как их расположить, чтобы третья сторона тоже удовлетворяла условию? Не могу сообразить.
Максимум площади треугольника
Максимум площади треугольника
Dolly писал(а):Source of the post Если взять две стороны по максимуму: ,
То , т.е. и треугольник схлопывается в одно измерение, и его площадь зануляется.
Т.е. и должны быть другие.
Максимум площади треугольника
Можно "в лоб" искать, через формулу Герона.
Т.е. нужно максимизировать многочлен при заданных ограничениях.
Получается площадь при , , .
Т.е. нужно максимизировать многочлен при заданных ограничениях.
Получается площадь при , , .
Максимум площади треугольника
Зная ответ можно подогнать решение.
Сначала отбрасываем ограничение на .
Ищем максимум, для которого очевидно максимальными должны быть , и синус угла между ними (т.е. угол прямой).
Замечаем, что полученный удовлетворяет нашему ограничению, и делаем вывод, что этот глобальный экстремум так же даёт максимум при учёте ограничения на .
Сначала отбрасываем ограничение на .
Ищем максимум, для которого очевидно максимальными должны быть , и синус угла между ними (т.е. угол прямой).
Замечаем, что полученный удовлетворяет нашему ограничению, и делаем вывод, что этот глобальный экстремум так же даёт максимум при учёте ограничения на .
Максимум площади треугольника
zykov, спасибо.
А что значит "зная ответ"?
Я поняла Вашу логику так: среди всех треугольников с двумя сторонами [math], которые удовлетворяют условиям [math], максимальную площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами [math], т.к. высота, опущенная на [math], не превышает [math].
Тогда его гипотенуза [math] удовлетворяет условию [math], и значит, среди всех возможных треугольников он имеет максимальную площадь.
Я правильно поняла Вашу идею?
Тогда тем более зачем эта оговорка "зная ответ"?
А что значит "зная ответ"?
Я поняла Вашу логику так: среди всех треугольников с двумя сторонами [math], которые удовлетворяют условиям [math], максимальную площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами [math], т.к. высота, опущенная на [math], не превышает [math].
Тогда его гипотенуза [math] удовлетворяет условию [math], и значит, среди всех возможных треугольников он имеет максимальную площадь.
Я правильно поняла Вашу идею?
Тогда тем более зачем эта оговорка "зная ответ"?
Максимум площади треугольника
Dolly писал(а):Source of the post Я правильно поняла Вашу идею?
Правильно.
Dolly писал(а):Source of the post Тогда тем более зачем эта оговорка "зная ответ"?
Потому что я сначала решил общим методом через формулу Герона (таким методом можно для любых ограничений искать).
А потом, уже зная ответ, нашел это простое решение для данных конкретных ограничений.
Но конечно простое решение можно было и сразу найти.
Dolly писал(а):Source of the post т.к. высота, опущенная на b, не превышает a.
Я тут использовал формулу площади . Из неё следует, что нужно брать максимальные , и синус.
Максимум площади треугольника
Не знала, что это универсальный метод.zykov писал(а):Source of the post Потому что я сначала решил общим методом через формулу Герона
Да, действительно, простое и ясное.zykov писал(а):Source of the post Но, конечно, простое решение можно было и сразу найти.
zykov, огромное спасибо.
Максимум площади треугольника
Dolly писал(а):Source of the post Не знала, что это универсальный метод
Универсальный в рамках вопроса о площади треугольника при ограничениях на длины сторон.
В том смысле, что применим для ограничений любой формы.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость