Максимум площади треугольника

Dolly
Сообщений: 66
Зарегистрирован: 27 фев 2016, 00:06
Откуда: Иерусалимский университет

Максимум площади треугольника

Сообщение Dolly » 12 фев 2021, 17:16

Здраствуйте.
Заинтересовалась такой задачей.
Известно, что стороны треугольника заключены в следующих пределах:
[math]
Какая может быть максимальная площадь такого треугольника?
Как подступиться к решению?
Если взять две стороны по максимуму: [math], то как их расположить, чтобы третья сторона тоже удовлетворяла условию? Не могу сообразить.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Максимум площади треугольника

Сообщение zykov » 12 фев 2021, 17:31

Dolly писал(а):Source of the post Если взять две стороны по максимуму: $b=2$, $c=3$

То $a \geq c-b = 1$, т.е. $a=1$ и треугольник схлопывается в одно измерение, и его площадь зануляется.
Т.е. $b$ и $c$ должны быть другие.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Максимум площади треугольника

Сообщение zykov » 12 фев 2021, 17:36

Можно "в лоб" искать, через формулу Герона.
Т.е. нужно максимизировать многочлен $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)$ при заданных ограничениях.

Получается площадь $S=1$ при $a=1$, $b=2$, $c=\sqrt 5$.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Максимум площади треугольника

Сообщение zykov » 12 фев 2021, 18:00

Зная ответ можно подогнать решение.
Сначала отбрасываем ограничение на $c$.
Ищем максимум, для которого очевидно максимальными должны быть $a$, $b$ и синус угла между ними (т.е. угол прямой).
Замечаем, что полученный $c$ удовлетворяет нашему ограничению, и делаем вывод, что этот глобальный экстремум так же даёт максимум при учёте ограничения на $c$.

Dolly
Сообщений: 66
Зарегистрирован: 27 фев 2016, 00:06
Откуда: Иерусалимский университет

Максимум площади треугольника

Сообщение Dolly » 12 фев 2021, 21:19

zykov, спасибо.
А что значит "зная ответ"?
Я поняла Вашу логику так: среди всех треугольников с двумя сторонами [math], которые удовлетворяют условиям [math], максимальную площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами [math], т.к. высота, опущенная на [math], не превышает [math].
Тогда его гипотенуза [math] удовлетворяет условию [math], и значит, среди всех возможных треугольников он имеет максимальную площадь.
Я правильно поняла Вашу идею?
Тогда тем более зачем эта оговорка "зная ответ"?

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Максимум площади треугольника

Сообщение zykov » 12 фев 2021, 23:33

Dolly писал(а):Source of the post Я правильно поняла Вашу идею?

Правильно.
Dolly писал(а):Source of the post Тогда тем более зачем эта оговорка "зная ответ"?

Потому что я сначала решил общим методом через формулу Герона (таким методом можно для любых ограничений искать).
А потом, уже зная ответ, нашел это простое решение для данных конкретных ограничений.
Но конечно простое решение можно было и сразу найти.

Dolly писал(а):Source of the post т.к. высота, опущенная на b, не превышает a.

Я тут использовал формулу площади $S = \frac12 a b \sin \alpha$. Из неё следует, что нужно брать максимальные $a$, $b$ и синус.

Dolly
Сообщений: 66
Зарегистрирован: 27 фев 2016, 00:06
Откуда: Иерусалимский университет

Максимум площади треугольника

Сообщение Dolly » 13 фев 2021, 07:53

zykov писал(а):Source of the post Потому что я сначала решил общим методом через формулу Герона
Не знала, что это универсальный метод.
zykov писал(а):Source of the post Но, конечно, простое решение можно было и сразу найти.
Да, действительно, простое и ясное.
zykov, огромное спасибо.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Максимум площади треугольника

Сообщение zykov » 13 фев 2021, 11:28

Dolly писал(а):Source of the post Не знала, что это универсальный метод

Универсальный в рамках вопроса о площади треугольника при ограничениях на длины сторон.
В том смысле, что применим для ограничений любой формы.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: Ian и 8 гостей