Начальник подбросил забавную статью. В ней некие болгарские ученые утверждают, что разработали способ быстро рассчитать значение функции

заданной своими коэффициентами разложения

по сферическим гармоникам. Причем для N=750 авторы декларируют ускорение счета в 500 раз.
Внимательное изучение статьи показало, что от прямого вычисления приведенной выше суммы авторы не избавились. Просто они предлагают делать это на пространственной сетке с 30х1498х2977=135 000 000 узлами, после чего интерполировать, используя 6х18х18=1944 ближайших узла. Ускорение же в 500 раз относится именно к интерполяции, а не к первоначальному вычислению 135 000 000 значений.
Что мне нравится и что не нравится в такой схеме? Не нравится то, что в сетке гораздо больше точек, чем коэффициентов

(последних 750х740=560 000). Нравится идея, что далекие узлы сетки не дают существенного вклада в интерполяцию. Авторы обосновывают этот момент с помощью изобретенных ими нидлетов (needlets, видимо, по аналогии с вэйвлетами) --- функций вида

где

на отрезке [0,1], а затем гладко спадает до нуля. Утверждается, что любой "тригонометрический полином" (линейная комбинация

и

) степени не выше N является собственным вектором интегрального оператора с ядром

с собственным значением 1 (элементарно проверяется), и что для гладких

ядро

экспоненциально быстро спадает при раздвижке аргументов (вот это хотелось бы понять подробнее).
Так вот, нельзя ли придумать какой-то способ расчета представленной выше суммы, основанный на задании не коэффициентов

, а каких-то других параметров (предположительно --- значений V на какой-то сетке), так чтобы для восстановления значений V можно было ограничиться меньшим числом слагаемых в сумме?