Пример у вас странный, лагранжевы уравнения ведь второго порядка. Логика тут такая: если уравнения разрешены относительно старшей производной, то можно переписать их в виде системы уравнений первого порядка. Если при этом правая часть достаточно хорошая, то есть теорема о существовании решения задачи Коши (у вас, правда, граничная). А разрешить лагранжевы уравнения относительно старшей производной можно как раз при невырожденности матрицы
.
Если все же сделать замену
, то лагранжиан принимает вид
Если интерпретировать
как полярные координаты, то это просто
Вроде никаких тут драконов нет, это нелинейный маятник с зависящей от времени массой/жесткостью.
P. S.
Ваши рассуждения, наверное, можно как-то перевести на язык интегралов движения. Вот, например, интеграл, связанный с симметрией лагранжиана относительно вращений вектора
P. P. S. Если вас смущает мнимость, то можно и без нее: замена
тоже приводит к лагранжиану с циклической координатой