Тригонометрия с олимпиады
Добавлено: 20 янв 2021, 14:12
Вобщем, чтобы подвести черту - забубенная задача оказалась не такой уж забубенной.
Сначала дроби в углах по основанию 35 нужно представить как суммы/разности дробей по основанию 5 и 7 и раскрыть косинусы суммы/разности, получая многочлен от углов и . Об этом кстати следовало догадатся гораздо быстрее. Тем более, что правая часть на это намекала (в отличии например от случая, если бы они представили правую часть в радикалах).
Потом в пару строчек показываем, что .
Для семи единичных векторов с углами , где , их сумма равна нулю (из симметрии при повороте).
Значит .
С синусам чуть посложнее. Можно, как я писал, возвести их в квадрат и упростить.
Но можно сделать даже ещё чуть проще, расмотреть сумму двух квадратов - суммы синусов и суммы косинусов. Там три пары каждая дают по 1. И три пары дают косинус от суммы/разности углов.
Значит
Т.е. одно значение равно , а сумма квадратов равна . Значит второе значение равно .
Сначала дроби в углах по основанию 35 нужно представить как суммы/разности дробей по основанию 5 и 7 и раскрыть косинусы суммы/разности, получая многочлен от углов и . Об этом кстати следовало догадатся гораздо быстрее. Тем более, что правая часть на это намекала (в отличии например от случая, если бы они представили правую часть в радикалах).
Потом в пару строчек показываем, что .
Для семи единичных векторов с углами , где , их сумма равна нулю (из симметрии при повороте).
Значит .
С синусам чуть посложнее. Можно, как я писал, возвести их в квадрат и упростить.
Но можно сделать даже ещё чуть проще, расмотреть сумму двух квадратов - суммы синусов и суммы косинусов. Там три пары каждая дают по 1. И три пары дают косинус от суммы/разности углов.
Значит
Т.е. одно значение равно , а сумма квадратов равна . Значит второе значение равно .