Тригонометрия с олимпиады

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Тригонометрия с олимпиады

Сообщение zykov » 20 янв 2021, 14:12

Вобщем, чтобы подвести черту - забубенная задача оказалась не такой уж забубенной.
Сначала дроби в углах по основанию 35 нужно представить как суммы/разности дробей по основанию 5 и 7 и раскрыть косинусы суммы/разности, получая многочлен от углов $\pi/5$ и $\pi/7$. Об этом кстати следовало догадатся гораздо быстрее. Тем более, что правая часть на это намекала (в отличии например от случая, если бы они представили правую часть в радикалах).

Потом в пару строчек показываем, что $$\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}=\frac12$$.
Для семи единичных векторов с углами $(2k+1)\pi/7$, где $k=0..6$, их сумма равна нулю (из симметрии при повороте).
Значит $$2(\cos\frac{5\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}) - 1=0$$.

С синусам чуть посложнее. Можно, как я писал, возвести их в квадрат и упростить.
Но можно сделать даже ещё чуть проще, расмотреть сумму двух квадратов - суммы синусов и суммы косинусов. Там три пары $\cos^2+\sin^2$ каждая дают по 1. И три пары $\cos\cdot\cos \pm \sin\cdot\sin$ дают косинус от суммы/разности углов.
$$(\cos 5x + \cos 3x + \cos x)^2+(\sin 5x + \sin 3x - \sin x)^2 = 3 + 2(\cos 6x + \cos 4x + \cos 2x)$$
Значит $$(\cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7})^2+(\sin \frac{5\pi}{7} + \sin \frac{3\pi}{7} - \sin \frac{5\pi}{7})^2 = 3 + 2(\cos \frac{6\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7}) =$$
$$= 3 - 2(\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7}) = 2$$
Т.е. одно значение равно $1/2$, а сумма квадратов равна $2$. Значит второе значение равно $\sqrt 7 / 2$.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Тригонометрия с олимпиады

Сообщение zykov » 20 янв 2021, 14:17

zykov писал(а):Source of the post Аналогично можно получить $$2(\cos\frac{7\pi}{9}+\cos\frac{5\pi}{9}+\cos\frac{3\pi}{9}+\cos\frac{\pi}{9}) - 1=0$$. Значит $$\cos\frac{7\pi}{9}+\cos\frac{5\pi}{9}+\cos\frac{\pi}{9}=0$$ или $$\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{2\pi}{9}=\cos\frac{\pi}{9}$$.

Если у кого есть школьник для экспериментов, можно ему дать доказать, что $$\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{2\pi}{9}=\cos\frac{\pi}{9}$$.
И посмотреть, что он будет делать. :)


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: Ian и 8 гостей