Страница 1 из 2
Задачи 1,6
Добавлено: 27 ноя 2020, 19:50
Ian
- 1,6.jpg (120.97 KiB) 21203 просмотра
В задаче 1 я использовал частную производную модуля, которая на границе должна быть коллинеарна ограничению. А нормальный способ есть?
В задаче 6 ответ-то известен
[math]\frac{\pi}2th\frac {a\pi}2 но не нашел контура, по которому его можно получить
Задачи 1,6
Добавлено: 28 ноя 2020, 02:35
zykov
Легко через вектора видно.
Из выпуклости корня видно, что для максимума суммы должно быть
.
Далее, очевидно, что для максимума должно быть
.
Задачи 1,6
Добавлено: 28 ноя 2020, 16:04
Ian
Спасибо.
Задачи 1,6
Добавлено: 04 дек 2020, 17:59
zykov
Решилось?
А то что-то мой ТФКП заржавел, я тоже не вижу...
Задачи 1,6
Добавлено: 04 дек 2020, 18:08
zykov
Задачи 1,6
Добавлено: 05 дек 2020, 10:23
Ian
в задаче 6 ответ нашла вольфрамальфа. и также один человек сказал что решил и с ответом сошлось но как делал не сказал
Задачи 1,6
Добавлено: 05 дек 2020, 18:56
zykov
В альфу я тоже забивал - да, она выдаёт ответ. Но путь решения там только за деньги.
Задачи 1,6
Добавлено: 05 дек 2020, 22:33
peregoudov
Мне кажется, в задаче 6 нужно рассмотреть
, его можно преобразовать
и взять вычетами. Может быть, и попроще можно.
Задачи 1,6
Добавлено: 06 дек 2020, 00:59
zykov
Он в нуле расходится.
Задачи 1,6
Добавлено: 06 дек 2020, 14:43
Ian
peregoudov писал(а): , .
Это поправляется
[math]\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iax}-1}{sh x}\,dx -Im не изменится
Задачи 1,6
Добавлено: 06 дек 2020, 20:31
zykov
Получится
, и что дальше?
Задачи 1,6
Добавлено: 06 дек 2020, 20:33
zykov
К той же тригонометрии вернёмся:
.
Задачи 1,6
Добавлено: 06 дек 2020, 21:31
peregoudov
Нет, не вернемся.
имеет точку ветвления в нуле. Проведем разрез от нее до
. Рассмотрим контур, идущий по нижнему берегу, вокруг точки ветвления и по верхнему берегу. Замкнем его большой окружностью. Вот этот интеграл, с одной стороны, вычисляется вычетами, а, с другой, выражается через искомый.
С расходимостью согласен, но можно заранее сместить контур, чтобы он не проходил через полюс.
Но можно, наверное, и исходный интеграл по
рассчитывать. Тем будет бесконечная цепочка полюсов
, а сумма свернется в
. Просто математики такое не любят.
Задачи 1,6
Добавлено: 06 дек 2020, 23:59
zykov
Полюса - это хорошо. Но вопрос в контуре?
Задачи 1,6
Добавлено: 07 дек 2020, 11:27
Ian
peregoudov писал(а):Но можно, наверное, и исходный интеграл по
рассчитывать. Тем будет бесконечная цепочка полюсов
, а сумма свернется в
. Просто математики такое не любят.
Любят,если ответ получается правильный. так какой же ответ? Он правильный тогда и только тогда, когда интеграл по дополнению к действительной прямой до контура, сделанному, чтобы контур в пределе охватывал все учтенные Вами полюса, стремится к 0. например, какие-то прямоугольники удобных нам пропорций, над осью или под ней. Тут можно использовать, что подынтегральная функция четна по х, а направления dz на боковых сторонах прямоугольника противоположны - боковые стороны компенсируются. Осталось второе основание, на котором оценить бы.
Задачи 1,6
Добавлено: 09 дек 2020, 18:52
peregoudov
Я же говорю --- математики такое не любят. Им надо, чтобы было типа строго, с неравенствами всякими, эпсилон-дельта.
Тогда вот вам
а это гиперболический тангенс.
Задачи 1,6
Добавлено: 09 дек 2020, 21:15
zykov
Красиво! Первый переход хороший - я не подумал про геометрическую прогрессию.
Т.е. в итоге без полюсов.
Задачи 1,6
Добавлено: 09 дек 2020, 22:17
zykov
Кстати, а как показать, что эта сумма (в конце) выражается через гиперболический тангенс?
Такую формулу нашел
тут (вторая с конца), но там без вывода.
Задачи 1,6
Добавлено: 11 дек 2020, 11:41
Ian
Присоединяюсь. Так и должна выглядеть математика - когда все следует из максимально общих принципов, не плодить эпсилон-дельты. Есть теорема о коммутировании двух предельных переходов -если один из переходов равномерный, то точно коммутируют.Иначе-всякое бывает. Так вот у нас в 1м равенстве два предельных перехода - от суммы конечного числа функций к несобственному интегралу от нее, и второй -от конечной суммы к сумме ряда. Так вот первый равномерный по N, ограничивающему значения n=0,...N , как легко оценить. Значит, строгий.
Задачи 1,6
Добавлено: 12 дек 2020, 00:35
zykov
Тут хвосты и интеграла, и суммы убывают экспоненциально. Так что перестановочность очевидна - неравенства можно на пальцах состряпать.
Меня вот больше последняя сумма интересует. Вполне возможно, что это хорошо известный ряд. Но я вот с ним не сталкивался.
Так что на мой взгляд, мы свели трудный интеграл к трудно берущейся сумме ряда. Уже что-то, но недостаточно.
Хотелось бы увидеть, как этот ряд просуммировать и получить гиперболический тангенс?