Задачи 1,6

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Задачи 1,6

Сообщение Ian » 12 дек 2020, 17:01

zykov писал(а):Тут хвосты и интеграла, и суммы убывают экспоненциально. Так что перестановочность очевидна - неравенства можно на пальцах состряпать.

Нет я настаиваю в чем была суть [math]
И если бы последовательность [math] представить как сумму ряда так там нулевой хвост, однако

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задачи 1,6

Сообщение zykov » 13 дек 2020, 06:00

Тут проблема в том, с ростом $n$ начало хвоста (по $x$) уползает от нуля.
В нашем случае всё гораздо проще.

И всё же, как получить из той последней суммы $th$?

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Задачи 1,6

Сообщение peregoudov » 13 дек 2020, 20:53

zykov писал(а):Source of the post И всё же, как получить из той последней суммы $th$?
Это известное разложение целой (?) функции по полюсам --- в фольклоре "всякая аналитическая функция висит на своих особенностях". То есть тангенс равен сумме полюсных слагаемых

$$ \tg x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{-1}{x-(\pi/2+\pi n)}. $$

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Задачи 1,6

Сообщение Ian » 13 дек 2020, 23:49

peregoudov писал(а):]Это известное разложение целой (?) функции по полюсам --- в фольклоре "всякая аналитическая функция висит на своих особенностях".
Правильно поставлен знак вопроса. Функция не целая, имеет бесконечно много полюсов. Но , будучи поделенной на эту сумму, доказывается, что она станет ограниченной на всей комплексной плоскости, а ЦЕЛАЯ ограниченная функция . по теореме Лиувилля, обязательно константа. Ну и взятием предела в одной конкретной точке находим эту константу.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Задачи 1,6

Сообщение peregoudov » 15 дек 2020, 10:52

Ну, значит, мероморфная какая-нибудь. Я суть помню, а как называется --- не помню.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задачи 1,6

Сообщение zykov » 17 дек 2020, 17:26

Спасибо, понятно.
Правда не имею понятия, как такое можно доказать: "доказывается, что она станет ограниченной на всей комплексной плоскости". Но видимо это что-то хорошо известное и можно найти в книге.

Albus
Сообщений: 7
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

Задачи 1,6

Сообщение Albus » 14 апр 2021, 20:59

zykov писал(а):
Ian писал(а):Source of the post А нормальный способ есть?

Легко через вектора видно.
$|z_1+z_2| = |\vec a + \vec b| = \sqrt {a^2+b^2+2 ab \cos\alpha}$
$|z_1-z_2| = |\vec a - \vec b| = \sqrt {a^2+b^2-2 ab \cos\alpha}$
Из выпуклости корня видно, что для максимума суммы должно быть $\cos \alpha = 0$.
Далее, очевидно, что для максимума должно быть $a=b=1$.

У меня вышло проще) Пусть $z_1$ и $z_2$ не равны, тогда масштабно увеличим их, пока наибольший вектор не станет единичным (наш функционал тоже увеличится в такое же количество раз). Теперь проведем диагонали в нашем параллелограмме, и повернем их так, чтобы они были перпендикулярны. Тогда $z_1$ и $z_2$ станут равным (больший уменьшится, а меньший увеличится), тогда мы можем их масштабно растянуть до единичной длины, т.е. максимум надо искать на векторах единичной длины. А дальше все просто, сумма модулей расписывается как сумма синуса и косинуса половинного угла, с очевидным максимум в $\frac{\pi}{4}$, т.е. угол между векторами должен быть прямой


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 8 гостей