Линейная сумма двух канторовых множеств

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Линейная сумма двух канторовых множеств

Сообщение Ian » 31 окт 2020, 17:15

Задача стоит : доказать, что линейная сумма двух канторовых множеств содержит некоторый интервал
Канторово множество -это множество всех бесконечных дробей в троичной системе, которые могут быть записаны без использования единиц (только из нулей и двоек).И значит, что любое число из некоторого интервала (я взял [math] представимо как сумма двух чисел из канторова множества
Я хочу использовать представление произвольного числа в виде троичной дроби [math] и показать что найдется представление ее в виде суммы канторовых x+y [math], где [math]-единицы. переносимые из k-го разряда в k-1-й. Просчет вправо показывает, что получается, но как бы описать общий алгоритм подбора [math]попроще
Последний раз редактировалось Ian 01 ноя 2020, 07:58, всего редактировалось 1 раз.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Прямая сумма двух канторовых множеств

Сообщение Ian » 31 окт 2020, 19:17

Представим прямое произведение канторова множества на себя KxK внутри единичного квадрата. При разбиении квадрата на 9 только 4 угловых квадрата будут иметь с ним непустое пересечение.Утверждение состоит в том, что проекция KxK на диагональ квадрата содержит некоторый интервал. Если оно верно, то из самоподобия канторова множества проекция будет всей диагональю. И действительно, поиск представления [math] в виде суммы двух канторовых дробей не встречает сопротивления. Только конкурс, как бы это представление описать попонятнее и покрасивше.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Линейная сумма двух канторовых множеств

Сообщение zykov » 03 ноя 2020, 12:25

Вроде тут просто.
Рассмотрим цифру в текущем разряде - 0, 1 или 2. И ещё перенос со старшего разряда - 0 или 1.
Всего 6 вариантов - от 0 до 5: 00, 01, 02, 10, 11, 12.
Любое чётное представляется как сумма двух из 0 и 2: 0=0+0, 2=0+2, 4=2+2.
Нечётное так же представляется, но с переносом 1: 1=(0+0)+1, 3=(0+2)+1, 5=(2+2)+1.
Так берем наше произовльное число со старшего разряда и подбираем цифры для двух слагаемых со старшего разряда и дальше в сторону младших.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Линейная сумма двух канторовых множеств

Сообщение Ian » 04 ноя 2020, 14:31

Да, спасибо. Примерно так и сделал. Какие-то идеи крутились, связанные с самоподобием, или с блужданием по графу с 6ти вершинами, но лучше не стало


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 11 гостей