Страница 1 из 1
Фундаментальное решение
Добавлено: 29 сен 2020, 16:40
Ian
[math]y''-y'-2y=2\delta (x) в классе обобщенных функций
В ответе будет комбинация [math]|x|,x|x| , многочлена и двух экспонент. Какой-то есть рациональный общий прием ее найти?
Фундаментальное решение
Добавлено: 29 сен 2020, 17:50
zykov
Через
Фурье наверно.
Тут же коэффициенты постоянны (от
не зависят).
Фундаментальное решение
Добавлено: 29 сен 2020, 20:53
Ian
Но там же не вышло действительнозначной функции. Как сие трактовать? И хорошо бы чтобы [math]e^{-x} и [math]e^{2x} выскочили с произвольными множителями-константами, как им и следует
Фундаментальное решение
Добавлено: 29 сен 2020, 21:47
Ian
Ian писал(а):Но там же не вышло действительнозначной функции. Как сие трактовать?
Вот так вышло,я же помню что дифференцирование переходит в умножение на ix, только с каким знаком
https://www.wolframalpha.com/input/?i=F ... 2-i*x-2%29[math]\sqrt{2\pi} тоже уйдет при уточнении формул для Фурье
Ian писал(а):И хорошо бы чтобы [math]e^{-x} и [math]e^{2x} выскочили с произвольными множителями-константами, как им и следует
А вот это откуда должно вылезти
Фундаментальное решение
Добавлено: 30 сен 2020, 05:16
zykov
Ну так это ядро оператора - решение при нулевой правой части.
Отсюда
, т.е.
.
Фундаментальное решение
Добавлено: 30 сен 2020, 08:52
Ian
Да но как это провести классически. "Пусть обобщенная функция y(x) удовлетворяет данному уравнению...Тогда Фурье-образы левой и правой частей тоже равны (тут хорошо бы переименовать переменную в образе хоть в [math]t)... Тогда Фурье образ самой y(x) мы знаем (с точностью до каких-то констант?)...Тогда и саму у(х) находим, и тоже с точностью до этих констант"
Откуда возьмутся константы, я в принципе чувствую теперь. Алгебраическое уравнение [math](it-2)(it+1)\hat{f}(t)=0 в обобщенных функциях имеет "решение" [math]\hat{f}(t)=C_1\delta(t+2i)+C_2\delta(t-i) и при обратном преобразовании Фурье выйдет сумма этих экспонент.
Фундаментальное решение
Добавлено: 01 окт 2020, 09:53
peregoudov
Прием простой. Решаете однородное уравнение, получаете решения
,
. Теперь решение неоднородного уравнения ищете в виде
и сшиваете в нуле, используя непрерывность
и скачок ее производной (следует из уравнения)
.
Фундаментальное решение
Добавлено: 01 окт 2020, 10:23
Ian
Спасибо. Теперь хотя бы ясно, что могли всей студенческой группе назадавать подобных уравнений, как будто общий метод объяснили. Хотя ни в одном учебнике этого не видел. Однако кто обещал, что y должна быть непрерывной (хотя я верю , что должна. но это надо доказывать)
Фундаментальное решение
Добавлено: 06 окт 2020, 17:02
peregoudov
Доказывается точно так же, как скачок производной --- интегрированием уравнения. Только нужно сначала умножить его на "x".
Фундаментальное решение
Добавлено: 07 окт 2020, 07:07
Ian
Спасибо! Конечно Вы правы
Тем временем студенты узнали, что об этом думает преподаватель (в дистанционном образовании бывает так, что сначала вопросы. а потом материал). 1.То, что [math]y''-y'-2y=0 в обобщенных функциях -имеет решение только в обычных - доказывается интегрированием. Значит, пространство решений двумерно и возможен подбор. 2.И подбор делает так же, только вводит тэта-функцию(первообразную от дельты).
3. У уравнения [math]x^my^{(n)}(x)=0 в обобщенных функциях размерность пространства решений не n, а n+m -а это как доказать
Фундаментальное решение
Добавлено: 07 окт 2020, 12:35
peregoudov
Ну, например, решением
является
. Идея, думаю, понятна.