[math] в классе обобщенных функций
В ответе будет комбинация [math] , многочлена и двух экспонент. Какой-то есть рациональный общий прием ее найти?
Фундаментальное решение
Фундаментальное решение
Через Фурье наверно.
Тут же коэффициенты постоянны (от не зависят).
Тут же коэффициенты постоянны (от не зависят).
Фундаментальное решение
Но там же не вышло действительнозначной функции. Как сие трактовать? И хорошо бы чтобы [math] и [math] выскочили с произвольными множителями-константами, как им и следует
Фундаментальное решение
Ian писал(а):Но там же не вышло действительнозначной функции. Как сие трактовать?
Вот так вышло,я же помню что дифференцирование переходит в умножение на ix, только с каким знаком
https://www.wolframalpha.com/input/?i=F ... 2-i*x-2%29
[math] тоже уйдет при уточнении формул для Фурье
А вот это откуда должно вылезтиIan писал(а):И хорошо бы чтобы [math] и [math] выскочили с произвольными множителями-константами, как им и следует
Фундаментальное решение
Ian писал(а):Source of the post А вот это откуда должно вылезти
Ну так это ядро оператора - решение при нулевой правой части.
Отсюда , т.е. .
Фундаментальное решение
Да но как это провести классически. "Пусть обобщенная функция y(x) удовлетворяет данному уравнению...Тогда Фурье-образы левой и правой частей тоже равны (тут хорошо бы переименовать переменную в образе хоть в [math])... Тогда Фурье образ самой y(x) мы знаем (с точностью до каких-то констант?)...Тогда и саму у(х) находим, и тоже с точностью до этих констант"
Откуда возьмутся константы, я в принципе чувствую теперь. Алгебраическое уравнение [math] в обобщенных функциях имеет "решение" [math] и при обратном преобразовании Фурье выйдет сумма этих экспонент.
Откуда возьмутся константы, я в принципе чувствую теперь. Алгебраическое уравнение [math] в обобщенных функциях имеет "решение" [math] и при обратном преобразовании Фурье выйдет сумма этих экспонент.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Фундаментальное решение
Прием простой. Решаете однородное уравнение, получаете решения , . Теперь решение неоднородного уравнения ищете в виде
и сшиваете в нуле, используя непрерывность и скачок ее производной (следует из уравнения) .
и сшиваете в нуле, используя непрерывность и скачок ее производной (следует из уравнения) .
Фундаментальное решение
Спасибо. Теперь хотя бы ясно, что могли всей студенческой группе назадавать подобных уравнений, как будто общий метод объяснили. Хотя ни в одном учебнике этого не видел. Однако кто обещал, что y должна быть непрерывной (хотя я верю , что должна. но это надо доказывать)
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Фундаментальное решение
Доказывается точно так же, как скачок производной --- интегрированием уравнения. Только нужно сначала умножить его на "x".
Фундаментальное решение
Спасибо! Конечно Вы правы
Тем временем студенты узнали, что об этом думает преподаватель (в дистанционном образовании бывает так, что сначала вопросы. а потом материал). 1.То, что [math] в обобщенных функциях -имеет решение только в обычных - доказывается интегрированием. Значит, пространство решений двумерно и возможен подбор. 2.И подбор делает так же, только вводит тэта-функцию(первообразную от дельты).
3. У уравнения [math] в обобщенных функциях размерность пространства решений не n, а n+m -а это как доказать
Тем временем студенты узнали, что об этом думает преподаватель (в дистанционном образовании бывает так, что сначала вопросы. а потом материал). 1.То, что [math] в обобщенных функциях -имеет решение только в обычных - доказывается интегрированием. Значит, пространство решений двумерно и возможен подбор. 2.И подбор делает так же, только вводит тэта-функцию(первообразную от дельты).
3. У уравнения [math] в обобщенных функциях размерность пространства решений не n, а n+m -а это как доказать
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Фундаментальное решение
Ну, например, решением является . Идея, думаю, понятна.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей