Фундаментальное решение

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Фундаментальное решение

Сообщение Ian » 29 сен 2020, 16:40

[math] в классе обобщенных функций
В ответе будет комбинация [math] , многочлена и двух экспонент. Какой-то есть рациональный общий прием ее найти?

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Фундаментальное решение

Сообщение zykov » 29 сен 2020, 17:50

Через Фурье наверно.
Тут же коэффициенты постоянны (от $x$ не зависят).

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Фундаментальное решение

Сообщение Ian » 29 сен 2020, 20:53

Но там же не вышло действительнозначной функции. Как сие трактовать? И хорошо бы чтобы [math] и [math] выскочили с произвольными множителями-константами, как им и следует

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Фундаментальное решение

Сообщение Ian » 29 сен 2020, 21:47

Ian писал(а):Но там же не вышло действительнозначной функции. Как сие трактовать?

Вот так вышло,я же помню что дифференцирование переходит в умножение на ix, только с каким знаком
https://www.wolframalpha.com/input/?i=F ... 2-i*x-2%29
[math] тоже уйдет при уточнении формул для Фурье
Ian писал(а):И хорошо бы чтобы [math] и [math] выскочили с произвольными множителями-константами, как им и следует
А вот это откуда должно вылезти

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Фундаментальное решение

Сообщение zykov » 30 сен 2020, 05:16

Ian писал(а):Source of the post А вот это откуда должно вылезти

Ну так это ядро оператора - решение при нулевой правой части.
$(e^{kx})''-(e^{kx})'-2e^{kx}=0$
Отсюда $k^2-k-2=0$, т.е. $(k+1)(k-2)=0$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Фундаментальное решение

Сообщение Ian » 30 сен 2020, 08:52

Да но как это провести классически. "Пусть обобщенная функция y(x) удовлетворяет данному уравнению...Тогда Фурье-образы левой и правой частей тоже равны (тут хорошо бы переименовать переменную в образе хоть в [math])... Тогда Фурье образ самой y(x) мы знаем (с точностью до каких-то констант?)...Тогда и саму у(х) находим, и тоже с точностью до этих констант"
Откуда возьмутся константы, я в принципе чувствую теперь. Алгебраическое уравнение [math] в обобщенных функциях имеет "решение" [math] и при обратном преобразовании Фурье выйдет сумма этих экспонент.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Фундаментальное решение

Сообщение peregoudov » 01 окт 2020, 09:53

Прием простой. Решаете однородное уравнение, получаете решения $e^{-x}$, $e^{2x}$. Теперь решение неоднородного уравнения ищете в виде

$$ u(x)=\begin{cases} ae^{2x},&x<0,\\ be^{-x},&x>0. \end{cases} $$

и сшиваете в нуле, используя непрерывность $u(x)$ и скачок ее производной (следует из уравнения) $u'(+0)-u'(-0)=2$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Фундаментальное решение

Сообщение Ian » 01 окт 2020, 10:23

Спасибо. Теперь хотя бы ясно, что могли всей студенческой группе назадавать подобных уравнений, как будто общий метод объяснили. Хотя ни в одном учебнике этого не видел. Однако кто обещал, что y должна быть непрерывной (хотя я верю , что должна. но это надо доказывать)

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Фундаментальное решение

Сообщение peregoudov » 06 окт 2020, 17:02

Доказывается точно так же, как скачок производной --- интегрированием уравнения. Только нужно сначала умножить его на "x".

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 685
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Фундаментальное решение

Сообщение Ian » 07 окт 2020, 07:07

Спасибо! Конечно Вы правы
Тем временем студенты узнали, что об этом думает преподаватель (в дистанционном образовании бывает так, что сначала вопросы. а потом материал). 1.То, что [math] в обобщенных функциях -имеет решение только в обычных - доказывается интегрированием. Значит, пространство решений двумерно и возможен подбор. 2.И подбор делает так же, только вводит тэта-функцию(первообразную от дельты).
3. У уравнения [math] в обобщенных функциях размерность пространства решений не n, а n+m -а это как доказать

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Фундаментальное решение

Сообщение peregoudov » 07 окт 2020, 12:35

Ну, например, решением $xy''=0$ является $y=a+bx+c|x|$. Идея, думаю, понятна.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: Ian и 9 гостей