Упростить интеграл Фурье

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Упростить интеграл Фурье

Сообщение Ian » 24 сен 2020, 07:32

[math]
Один автор пишет, что тут выйдет преобразование Гильберта функции [math], но как это доказать
* видимо определяемое так https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Упростить интеграл Фурье

Сообщение zykov » 24 сен 2020, 09:58

Насколько понимаю, мы тут берем Фурье образ от $\xi(z)$, умножаем его на $|k|$ и переходим обратно.
Т.е. результат должен быть - свертка $\xi(z)$ и прообраза $|k|$.
Фурье от $|k|$ будет с точностью до множителя $x^{-2}$ (wolfram).

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Упростить интеграл Фурье

Сообщение Ian » 24 сен 2020, 13:02

Вот и меня удивило как тут получается
newfile5_copy.pdf
(101.64 KiB) Загружено 176 раз

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Упростить интеграл Фурье

Сообщение zykov » 24 сен 2020, 14:05

Ну там ещё какая-то трансформация. Видимо индекс "xx" - это вторая производная по "x". Наверно там и будет преобразование Гильберта...

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Упростить интеграл Фурье

Сообщение peregoudov » 01 окт 2020, 09:43

Так ведь ответ написан по той самой ссылке, которую вы и привели в заглавном сообщении, раздел Relationship with the Fourier transform:

$$ H(\xi)=F^{-1}(-i\mathop{\rm sgn}k\, F(\xi)). $$

В точности ваше выражение, только не с $|k|$, а с $-i\mathop{\rm sgn}k$. Так что преобразования Гильберта в чистом виде там точно не выйдет.

Поскольку $|k|=(-i\mathop{\rm sgn}k)(ik)$, то будет преобразование Гильберта от функции, чей фурье-образ равен $ikF(\xi)$, то есть от производной $\xi$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Упростить интеграл Фурье

Сообщение Ian » 09 окт 2020, 17:23

Спасибо!
Меня еще такой вопрос заинтересовал. В данной статье после обезразмеривания получилось одно конкретное уравнение, и даже явное решение удалось подобрать (арктангенс). А статья посвящена лишь доказательству, что других решений нет (нелинейное все-таки). Но предположим, решения в элементарных функциях не может быть. Чем это хуже? Решили численно, протабулировали, дали алгоритм расчета значений, и стала для практических целей не хуже элементарной (как функции Бесселя). Как часто уравнения в урматфизе обезразмериваются до полного отсутствия параметров? И как это используют? Чисто на эрудицию

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Упростить интеграл Фурье

Сообщение peregoudov » 10 окт 2020, 16:12

Ну, как вам сказать.

Тру-теоретики всегда обезразмеривают уравнения. От доморощенных теоретиков мне приходилось слышать, что это неправильно и типа замазывает физику :shock:

Если бы все всегда обезразмеривалось до отсутствия (безразмерных) параметров, все зависимости в физике были бы исключительно степенными. Практически же после обезразмеривания остается некоторое количество безразмерных параметров. Конечно, стараются рассматривать модели попроще, где их немного, но так чтобы обезразмерилось в нуль --- так бывает только в очень простых задачах.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Упростить интеграл Фурье

Сообщение Ian » 12 окт 2020, 10:04

peregoudov писал(а):Если бы все всегда обезразмеривалось до отсутствия (безразмерных) параметров, все зависимости в физике были бы исключительно степенными.
Или экспоненциальными? это же тоже бывает.
И я надеюсь, что и граничные условия останутся без параметров. Например, [math] обезразмерится до [math], а в уравнении ну пусть один параметр останется, это не так страшно

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Упростить интеграл Фурье

Сообщение peregoudov » 12 окт 2020, 15:30

Возможность обезразмеривания --- это следствие масштабной инвариантности уравнений. Какая здесь может быть экспонента? Только степень.

Если у вас есть исходные размерные параметры $a_1$, $a_2$, ... и вы следуете подходу тру-теоретиков, то ответ получаете в виде $f(b_1, b_2,\ldots)=0$, где $b_1=a_1^{\gamma_{11}}a_2^{\gamma_{12}}\cdot\ldots$, ... --- безразмерные параметры, а f --- некая универсальная функция для этой задачи. На нее, естественно, никаких ограничений по форме нет.

Но вот так вот как вы хотите, чтобы f была функцией одной переменной, бывает крайне редко. Если бы оно было так, все зависимости в физике были бы исключительно степенными.

Бывают и обратные ситуации, когда размерный анализ тривиален, но интересны именно численные значения нулей f. Например, уровни энергии многоэлектронного атома в приближении неподвижного ядра. Там исходных параметров три: постоянная Планка $\hbar$, заряд $e$ и масса $m$ электрона. И в энергию они складываются единственным образом --- это Ридберг, то есть все уровни энергии пропорциональны $me^4\!/\hbar^2$. И суть задачи как раз в том, чтобы вычислить безразмерные коэффициенты пропорциональности.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Упростить интеграл Фурье

Сообщение Ian » 13 окт 2020, 08:49

Я просто сначала не понял кто степенной.
[math]
[math]
Замены (аргументы f) конечно степенные. А f содержит экспоненту. Но f это ведь тоже зависимость в физике? Раз это зависимость. и она в физике. Трудно было сразу понять


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей