Пусть [math] -n-е простое число, p(1)=2 и т.д.
Доказать, что не существует действительных чисел [math], чтобы
[math] сразу для всех n?
Учебная задачка по алгебре
Очевидность
Очевидность
Не знаю, какое доказательство в рамках алгебры они имели ввиду. Может что-то про делимость.
Но оно и так из асимптотики очевидно.
Как известно, имеет асимптотику .
А последовательность заданная линейной рекурсией будет либо ограниченной, либо расти экспоненциально.
Там зависит от максимального по модулю собственного значения матрицы.
Если модуль меньше , то всё к нулю стремится. Если равен , то будет как-то скакать, но будет ограниченной.
Если больше , то будет расти, так что супремум можно снизу какой-то экспонентой ограничить.
Но оно и так из асимптотики очевидно.
Как известно, имеет асимптотику .
А последовательность заданная линейной рекурсией будет либо ограниченной, либо расти экспоненциально.
Там зависит от максимального по модулю собственного значения матрицы.
Если модуль меньше , то всё к нулю стремится. Если равен , то будет как-то скакать, но будет ограниченной.
Если больше , то будет расти, так что супремум можно снизу какой-то экспонентой ограничить.
Очевидность
zykov писал(а):Не знаю, какое доказательство в рамках алгебры они имели ввиду. Может что-то про делимость.
Действительно, для всякого р последовательность имеет ровно одно число, делящееся на р, но это ни к какому противоречию не приводит
Задачник Шишкова А.Б.(МИРЭА,2013), задача 7.1(л)
Кем-то доказано, что скорость вычисления n-го простого числа не ниже экспоненциальной от n. А скорость вычисления очередного члена ЛРП линейная.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Очевидность
Мне кажется, все так просто лишь для невырожденных собственных значений. А в случае вырожденных возможности побогаче. К тому же вместе с собственными векторами могут понадобится и присоединенные. Я когда-то разбирался с системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, только быстро не найду эту бумажку.zykov писал(а):Source of the post А последовательность заданная линейной рекурсией будет либо ограниченной, либо расти экспоненциально.
Там зависит от максимального по модулю собственного значения матрицы.
Очевидность
Да, там есть некоторые отличия. Но асимптотики всё равно не будет.
Вот возьмем одну Жорданову клетку размера . Она имеет вид .
Матрица имеет единицы на второй диагонали сверху, в других местах нули. Это нильпотентная матрица - .
Т.к. матрицы и коммутируют, то выражается в виде бинома Ньютона. При этом степени от и выше зануляются. Т.е. будут только первые слагаемых (от до ). Сами биномиальные коэффициенты растут полиномиально.
Если модуль больше единицы, то всё равно асимптотика супремума не менее экспоненциальной.
Если модуль меньше единицы, то экспоненциальное убывание всё равно забъет полином.
Если модуль равен единице, то может быть полиномиальный рост за счёт биномиальных коэффициентов. Но быть не может. Оно либо ограничивается линейно сверху, либо квадратично снизу.
Вот возьмем одну Жорданову клетку размера . Она имеет вид .
Матрица имеет единицы на второй диагонали сверху, в других местах нули. Это нильпотентная матрица - .
Т.к. матрицы и коммутируют, то выражается в виде бинома Ньютона. При этом степени от и выше зануляются. Т.е. будут только первые слагаемых (от до ). Сами биномиальные коэффициенты растут полиномиально.
Если модуль больше единицы, то всё равно асимптотика супремума не менее экспоненциальной.
Если модуль меньше единицы, то экспоненциальное убывание всё равно забъет полином.
Если модуль равен единице, то может быть полиномиальный рост за счёт биномиальных коэффициентов. Но быть не может. Оно либо ограничивается линейно сверху, либо квадратично снизу.
Очевидность
zykov писал(а):Source of the post Вот возьмем одну Жорданову клетку размера . Она имеет вид .
Да, любая матрица представляется в Жордановой форме (соответствующим выбором базиса), т.е. представляется в виде , где диагональна, нильпотентна, и коммутируют. Т.е. представляется в виде обрезанного бинома Ньютона с фиксированным (независящим от ) количеством слагаемых.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 11 гостей