Иррационально-тригонометрическое неравенство

Dolly
Сообщений: 66
Зарегистрирован: 27 фев 2016, 00:06
Откуда: Иерусалимский университет

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение Dolly » 10 июл 2020, 08:51

Здраствуйте.
Застопорилась я с одним тождественным неравенством:

Доказать. что [math]

Понятно, что без калькулятора.
Два дня мучаюсь, не знаю, как подступиться.
Подкиньте, пожалуйста, идею.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение zykov » 10 июл 2020, 12:56

Это эквивалентно $$\cos \frac {2\pi}{9} < \frac 7 9$$.

Чем можно пользоватся?
Нужно именно тригонометрически?
Потому что оно просто делается через ряд Тэйлора (это вообще универсальный метод - что тригонометрия, что логарифмы/экспоненты, что Бессель и так далее).
Либо в лоб - около нуля: $$\cos x < 1 - \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$ при $$x > 0$$.
Либо можно около точки $\pi/4$, там достаточно первого порядка (касательной к косинусу).
Будет:
$$\cos \frac {2\pi}{9} < \cos \frac {\pi}{4} + \sin \frac {\pi}{4} \; (\frac {\pi}{4} - \frac {2\pi}{9}) = \frac {\sqrt 2}{2} (1+\frac {\pi}{36}) < \frac {\sqrt 2}{2} (1+\frac {32}{360}) = \frac{49}{45 \sqrt 2} = \sqrt {\frac{49}{50} \cdot \frac{7^2}{9^2}} < \frac 7 9$$


Если надо, то это можно переписать почти тригонометрически.
$$\cos \frac {2\pi}{9} = \cos (\frac {\pi}{4} - \frac {\pi}{36}) = \cos \frac {\pi}{4} \cos \frac {\pi}{36} + \sin \frac {\pi}{4} \sin \frac {\pi}{36}$$
И использовать $$\cos \frac {\pi}{36} < 1$$ и $$\sin \frac {\pi}{36} < \frac {\pi}{36}$$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение zykov » 11 июл 2020, 05:52

zykov писал(а):Source of the post и $$\sin \frac {\pi}{36} < \frac {\pi}{36}$$.

Если это нельзя использовать (это вроде уже функциональный анализ, а не тригонометрия), то можно чисто тригонометрически, но несколько трудоёмко.
Обозначим $x = \cos \frac \pi 9$.
Тогда $y = \cos \frac {2\pi}{9} = 2 x^2 - 1$.
С другой стороны $\cos \frac \pi 3 = 4 x^3 - 3 x = \frac 1 2$.
Отсюда уже можно алгебраически показать, что $y < \frac 7 9$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение Ian » 11 июл 2020, 07:50

zykov писал(а):
zykov писал(а):Source of the post и $$\sin \frac {\pi}{36} < \frac {\pi}{36}$$.

Если это нельзя использовать (это вроде уже функциональный анализ, а не тригонометрия), .
Это геометрия школьная. Из точки М, изображающей [math] на тригонометрической окружности, синус-это расстояние до горизонтальной оси по перпендикуляру, а сам угол в радианах- по дуге, и ясно что угол больше.

Dolly
Сообщений: 66
Зарегистрирован: 27 фев 2016, 00:06
Откуда: Иерусалимский университет

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение Dolly » 11 июл 2020, 13:12

zykov писал(а):Source of the post Чем можно пользоваться?
Всем, кроме калькулятора, ну и всяких Брадисов.
Огромное спасибо Вам, zykov, всё поняла.
Правда, в тригонометрический способ не врубилась, а вот Тейлор прокатил прекрасно. Так получается, что разложение в ряд Тейлора - это вообще способ на все случаи жизни?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение zykov » 12 июл 2020, 00:37

Dolly писал(а):Source of the post что разложение в ряд Тейлора - это вообще способ на все случаи жизни?

Почти.
Те же $\sin/\cos$ можно легко посчитать с любой точностью (а значит и $\tg$, да и обратные к ним). Вообще ряд для $\sin$ сходится для любого аргумента. Но для большого аргумента (например $\sin(100)$) было бы так считать не практично. Лучше сначала простыми операциями выразить нужный $\sin$ или $\cos$ через $\sin \phi$, где $0 \leq \phi < \pi/2$ (или даже $0 \leq \phi < \pi/4$, если использовать $\sin^2(\phi) + \sin^2(\pi/2-\phi) = 1)$. В этой области ряд сходится очень быстро - всего несколько слагаемых дадут большую точность. А учитывая, что ряд знакопеременный и слагаемые убыват по абсолютной величине, то поочередно суммы дают то оценку сверху, то оценку снизу, с каждым разом всё более точную.

То же самое для $e^x$ при $x<0$, там тоже ряд знакопеременный.

Для натурального логарифма тоже легко оценить через ряд.
Недавно в журнале "Наука и жизнь" за 5-2020 была статья "Его величество логарифм" про историю вычисления логарифмов. Так ещё в 1614 году Джон Непер опубликовал таблицу логарифмов - несколько лет считал умножением возводя в степень. Только позже Николаус Меркатор в 1668 открыл, что ряд $$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...=\ln(1+x)$$. После этого считать логарифмы стало гораздо проще.
Так для любого $x>0$ его можно представить в виде $x = m \cdot 2^n$, где $1 \leq m < 2$, а $n$ - целое число. Тогда $\ln x = \ln m + n\ln 2$. Для $\ln m$ ряд сходится довольно быстро (хотя не так быстро, как для $\sin$) и он тоже знакопеременный, что позволяет получить оценки сверху и снизу, если нужно строгое неравенство.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение zykov » 12 июл 2020, 00:56

Dolly писал(а):Source of the post в тригонометрический способ не врубилась

Из $4 x^3 - 3 x = \frac 1 2$ можно найти $x$. Потом из $y = 2 x^2 - 1$ найти $y$ и показать что $y < 7/9$.
Но можно и не искать корни кубического многочлена, а сделать хитрее.
Учесть что $2 x^2 - 1$ возрастает при $0 \leq x \leq 1$. А $4 x^3 - 3 x$ возрастает при $1/2 \leq x \leq 1$.
Далее найти $x$ из $y = 7/9$ и показать что $4 x^3 - 3 x = x (2y-1) = 5x/9$ больше чем $1/2$.
Т.е. показать что $x > 9/10$. Действительно $2(9/10)^2-1 = 31/50 < 7/9$

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение zykov » 12 июл 2020, 01:00

Ian писал(а):Source of the post синус-это расстояние до горизонтальной оси по перпендикуляру, а сам угол в радианах- по дуге

На пальцах это понятно, что синус - это половина хорды, а угол в радианах - это половина дуги этой хорды, и что прямая всегда короче кривой.
Но что если школьник ещё не проходил, что такое длина кривой, а уже проходит тригонометрию...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение Ian » 12 июл 2020, 08:36

zykov писал(а):На пальцах это понятно, что синус - это половина хорды, а угол в радианах - это половина дуги этой хорды, и что прямая всегда короче кривой.
Но что если школьник ещё не проходил, что такое длина кривой, а уже проходит тригонометрию...
А как Вы думаете ему дают длину окружности? Общий предел приближения СНИЗУ вписанными многоугольниками , а сверху описанными. То есть что дуга короче хорды -постулируется как очевидное, вот веревочка не натянута а вот натянули. А из этого уже радианы, и только потом тригонометрия.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Иррационально-тригонометрическое неравенство

Сообщение zykov » 13 июл 2020, 22:48

Dolly писал(а):Source of the post Доказать. что $$\sqrt {18 (1-\cos {\frac {2\pi}{9}})} > 2$$

Может конечно имелось ввиду, что
$$\sqrt {18 (1-\cos {\frac {2\pi}{9}})} = \sqrt {18 (1-(1-2\sin^2 {\frac {\pi}{9}}))} = 6 \sin {\frac {\pi}{9}}$$
Т.е. нужно доказать, что $$\sin {\frac {\pi}{9}} > \frac 1 3$$.
Но тут тоже либо через ряд Тэйлора, либо доказывать, что $$\cos {\frac {\pi}{9}} < \frac 2 3 \sqrt 2$$ (тоже либо через ряд Тэйлора, либо так же тригонометрически).


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей