Здраствуйте.
Застопорилась я с одним тождественным неравенством:
Доказать. что [math]
Понятно, что без калькулятора.
Два дня мучаюсь, не знаю, как подступиться.
Подкиньте, пожалуйста, идею.
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Это эквивалентно .
Чем можно пользоватся?
Нужно именно тригонометрически?
Потому что оно просто делается через ряд Тэйлора (это вообще универсальный метод - что тригонометрия, что логарифмы/экспоненты, что Бессель и так далее).
Либо в лоб - около нуля: при .
Либо можно около точки , там достаточно первого порядка (касательной к косинусу).
Будет:
Если надо, то это можно переписать почти тригонометрически.
И использовать и .
Чем можно пользоватся?
Нужно именно тригонометрически?
Потому что оно просто делается через ряд Тэйлора (это вообще универсальный метод - что тригонометрия, что логарифмы/экспоненты, что Бессель и так далее).
Либо в лоб - около нуля: при .
Либо можно около точки , там достаточно первого порядка (касательной к косинусу).
Будет:
Если надо, то это можно переписать почти тригонометрически.
И использовать и .
Иррационально-тригонометрическое неравенство
zykov писал(а):Source of the post и .
Если это нельзя использовать (это вроде уже функциональный анализ, а не тригонометрия), то можно чисто тригонометрически, но несколько трудоёмко.
Обозначим .
Тогда .
С другой стороны .
Отсюда уже можно алгебраически показать, что .
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Это геометрия школьная. Из точки М, изображающей [math] на тригонометрической окружности, синус-это расстояние до горизонтальной оси по перпендикуляру, а сам угол в радианах- по дуге, и ясно что угол больше.zykov писал(а):zykov писал(а):Source of the post и .
Если это нельзя использовать (это вроде уже функциональный анализ, а не тригонометрия), .
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Всем, кроме калькулятора, ну и всяких Брадисов.zykov писал(а):Source of the post Чем можно пользоваться?
Огромное спасибо Вам, zykov, всё поняла.
Правда, в тригонометрический способ не врубилась, а вот Тейлор прокатил прекрасно. Так получается, что разложение в ряд Тейлора - это вообще способ на все случаи жизни?
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Dolly писал(а):Source of the post что разложение в ряд Тейлора - это вообще способ на все случаи жизни?
Почти.
Те же можно легко посчитать с любой точностью (а значит и , да и обратные к ним). Вообще ряд для сходится для любого аргумента. Но для большого аргумента (например ) было бы так считать не практично. Лучше сначала простыми операциями выразить нужный или через , где (или даже , если использовать . В этой области ряд сходится очень быстро - всего несколько слагаемых дадут большую точность. А учитывая, что ряд знакопеременный и слагаемые убыват по абсолютной величине, то поочередно суммы дают то оценку сверху, то оценку снизу, с каждым разом всё более точную.
То же самое для при , там тоже ряд знакопеременный.
Для натурального логарифма тоже легко оценить через ряд.
Недавно в журнале "Наука и жизнь" за 5-2020 была статья "Его величество логарифм" про историю вычисления логарифмов. Так ещё в 1614 году Джон Непер опубликовал таблицу логарифмов - несколько лет считал умножением возводя в степень. Только позже Николаус Меркатор в 1668 открыл, что ряд . После этого считать логарифмы стало гораздо проще.
Так для любого его можно представить в виде , где , а - целое число. Тогда . Для ряд сходится довольно быстро (хотя не так быстро, как для ) и он тоже знакопеременный, что позволяет получить оценки сверху и снизу, если нужно строгое неравенство.
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Dolly писал(а):Source of the post в тригонометрический способ не врубилась
Из можно найти . Потом из найти и показать что .
Но можно и не искать корни кубического многочлена, а сделать хитрее.
Учесть что возрастает при . А возрастает при .
Далее найти из и показать что больше чем .
Т.е. показать что . Действительно
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Ian писал(а):Source of the post синус-это расстояние до горизонтальной оси по перпендикуляру, а сам угол в радианах- по дуге
На пальцах это понятно, что синус - это половина хорды, а угол в радианах - это половина дуги этой хорды, и что прямая всегда короче кривой.
Но что если школьник ещё не проходил, что такое длина кривой, а уже проходит тригонометрию...
Иррационально-тригонометрическое неравенство
А как Вы думаете ему дают длину окружности? Общий предел приближения СНИЗУ вписанными многоугольниками , а сверху описанными. То есть что дуга короче хорды -постулируется как очевидное, вот веревочка не натянута а вот натянули. А из этого уже радианы, и только потом тригонометрия.zykov писал(а):На пальцах это понятно, что синус - это половина хорды, а угол в радианах - это половина дуги этой хорды, и что прямая всегда короче кривой.
Но что если школьник ещё не проходил, что такое длина кривой, а уже проходит тригонометрию...
Иррационально-тригонометрическое неравенство
Dolly писал(а):Source of the post Доказать. что
Может конечно имелось ввиду, что
Т.е. нужно доказать, что .
Но тут тоже либо через ряд Тэйлора, либо доказывать, что (тоже либо через ряд Тэйлора, либо так же тригонометрически).
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей