Спор про дифур

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Спор про дифур

Сообщение Ian » 09 июл 2020, 08:57

Вступительный экзамен в магистратуру вчера.
Задача . Частное решение y(x) дифф. уравнения
[math]
удовлетворяет условию y(1)=0. Найти значение функции y(-1). И это число ВПИСАТЬ В КЛЕТОЧКУ.
У меня есть 2 точки зрения. 1. Решение Задачи Коши существует в максимальной окрестности куда оно может быть продолжено в виде всюду дифференцируемой функции. То есть на полуось без точки 0. Тогда ответ- значение в точке -1 не существует.
2.(Характерная для урчп, частным случаем которых являются ОДУ) Краевая задача может быть поставлена как угодно , в области любой формы (в нашем случае прямая с выколотой точкой 0) и нет гарантии ни существования ни единственности. Просто; все функции дифференцируемые в области и в каждой точке дифур и краевые выполняются -тогда решение.Более того, позволяют уравнению выполняться не всюду, а почти всюду (чтобы допустить недифференцируемость в отдельных точках), но функция в ответе должна быть хотя бы непрерывной в области, в которой поставлена задача. И как вам такая функция
[math]
В этом случае ответ [math] любое может быть.
1)может ли быть третья точка зрения на ОДУ вообще?
2)Так или иначе, что же писать в клеточку?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Спор про дифур

Сообщение zykov » 09 июл 2020, 11:59

Если брать аналитическое продолжение через комплексную плоскость, то будет только $$\frac{1-x^3}{x(2+x^3)}$$.
Тогда в клеточку писать $-2$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Спор про дифур

Сообщение Ian » 09 июл 2020, 14:20

Да это 3-я точка зрения дифуры в комплексной области изучали ли мы в мгу даже не припомню. Был студент , написавший в клеточку -2. Но я считал что он-то как раз теории и не знал(.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Спор про дифур

Сообщение zykov » 09 июл 2020, 20:59

Например в кольце $r \leq |z| \leq R$, где $0 < r < 1$ и $1 < R < \sqrt[3] 2$ нет проблем.
Значение в точке 1 задано. Во всех точках области дифур верен. Отсюда находится значение в точке -1, которая тоже в этой области, как и точка 1.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Спор про дифур

Сообщение zykov » 09 июл 2020, 21:05

Но да, если всё ограничено только действительными числами, то значение в точке 1 не даёт информации о значении в точке -1.
Наверно в клеточку писать: "любое действительное число".

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Спор про дифур

Сообщение zykov » 09 июл 2020, 21:28

Можно ещё наверно рассмотреть ту же задачу для другой функции $u(x) = x \cdot y(x)$.
$u(1) = 0$
$x \cdot u' = 2 u^2 + u - 1$
Из непрерывности можно склеить решение для $x<0$ и $x>0$.

Ещё можно ряд Лорана в нуле рассмотреть, но вроде сам ряд Лорана изучают только в ТФКП...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Спор про дифур

Сообщение Ian » 10 июл 2020, 06:09

zykov писал(а):Можно ещё наверно рассмотреть ту же задачу для другой функции $u(x) = x \cdot y(x)$.
$u(1) = 0$
$x \cdot u' = 2 u^2 + u - 1$
Из непрерывности можно склеить решение для $x<0$ и $x>0$.
Тогда это приводит к пучку кривых [math], пересекающих ось х=0 (с касанием ее) только в точке [math]. То что Вы выбрали одну кривую справа и склеили ее с той кривой из пучка слева, которая соответствует тому же самому С -искусственно. Можно склеивать с любой кривой слева с тем же успехом.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Спор про дифур

Сообщение zykov » 10 июл 2020, 07:37

Да, для склеивания нужна непрерывность третьей производной (т.к. значение для всех равно 1/2, а первая и вторая производные для всех равны нулю).
Ну в общем идея такая, что ряд Лорана должен совпадать, так что всё равно к нему всё сводится.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей