Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 22 янв 2016, 22:43

Пусть [math] -n -я частичная сумма расходящегося ряда [math]
с положительными членами, м пусть [math]
Доказать, что [math]
Вообще-то если уж bot подобную не решил пару лет назад, я мало надеюсь на полное чье-то решение.
Просто тестирую совместимость своего ликса с местным латехом, и заодно вопрос Перегудову: а это в какой категории вуза могли задать? А ведь задали, и двойки ставят, кто не решит.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 24 янв 2016, 09:31

Доказательство. Обозначим [math]
[math]
[math]


Перемножим эти равенства для n=2,...n
[math]
[math]


Обозначим [math]
[math]
Тогда утверждение задачи сводится к[math]
(20 секунд заняло копирование, это мне нравится)

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение peregoudov » 25 янв 2016, 16:56

Я сейчас зашел из-под Хрома, проверяю, есть ли проблемы, так что это сообщение еще и тест.

Давайте сначала с "категорией вуза". Я говорю по своему опыту, а он у меня такой: с 1994 по 2014 я преподавал в МИРЭА (правда, был там у меня небольшой перерыв в 1999--2002). И еще общался со студентами своей альма-матерь, физфака МГУ. И, что важно, говорю об образовании как о массовом производстве. Одного-двух смышленых на курсе всегда можно найти. Но, чтобы имело смысл задавать вопрос на экзамене (или двойки за него ставить), нужно, мне кажется, чтобы на него могли ответить, скажем, половина учащихся.

Так вот, насколько я могу судить, ситуация сейчас такая: студенты сами ни одной задачи решить не могут. Более того, предложение решить самостоятельно они воспринимают как издевательство. В их понимании решить задачу может какой-нибудь седовласый профессор, а студент может только списать готовое решение.

Предлагаемая задача по матанализу уровня второго курса физфака или мехмата. Впрочем, не уверен, что кто-то из второкурсников ее решит.

А теперь ассоциации физика. Из нулевого предела n-ого члена и частичной суммы следует, что можно от дискретной суммы перейти к интегралу, [math], [math]. Тогда [math], ну и искомый предел, само собой...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 25 янв 2016, 22:51

Тогда в условиях той же задачи
[math]
,рассуждение то же? Лихо. Теперь когда не буду знать ответ на сложный вопрос, всегда физиков спрошу

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение peregoudov » 26 янв 2016, 10:10

Ну, вообще-то эти "физические ассоциации" нетрудно дотянуть до строгого рассуждения. Нужно нарисовать график [math], по горизонтальной оси расставить [math], дорисовать соответствующие прямоугольнички, тогда [math]. Вот с оценкой снизу сложнее, пока не знаю, как ее красиво сделать.

Можно и чисто алгебраически. Рассмотрим [math]. С одной стороны, [math]. С другой

[math]

откуда получаем то же неравенство...
Последний раз редактировалось peregoudov 27 янв 2016, 13:59, всего редактировалось 1 раз.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 27 янв 2016, 03:18

Техничнее в общем виде сделать все эти задачи. Пусть [math] на [math] монотонно убывающая к 0, [math]- ее первообразная, стремящаяся к бесконечности, [math] -расходящийся положительный ряд, [math] -его частичные суммы. Тогда
[math]
Отложим на горизонтальной оси от нуля один за другим отрезки длинами [math], а над осью нарисуем график [math] тогда
[math]
геометрически очевидно, и отношение левого края этого неравенства к правому стремится к 1
В частности, можно полагать [math] , доопределяемые до монотонной непрерывной на нужном отрезке слева, получим решения поставленных задач.

/По просьбе автора поста исправлена опечатка в формуле. peregoudov/

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение peregoudov » 27 янв 2016, 14:38

Простите меня, Ian, но я не вполне понимаю ваших утверждений. Вот вы, например, написали
Ian писал(а):Доказательство.
<...>
Тогда утверждение задачи сводится к <...>
Следует ли это понимать так, что вы считаете, что решили задачу, то есть дали доказательство? Потому что, на мой взгляд, вы просто переформулировали задачу в другом виде, но ни шага в направлении решения не сделали.

Теперь вот вы пишете
Ian писал(а):и отношение левого края этого неравенства к правому стремится к 1
Мне это утверждение представляется настолько несамоочевидным, что я даже потратил некоторое время, пытаясь сконструировать контрпример. Если у вас есть формальное доказательство, я был бы крайне рад его увидеть.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 28 янв 2016, 00:31

Конечно, всему есть строгие доказательства. Но никто начиная с профессора на таких типовых приемах не останавливается)
Дополним пост 2. В числителе и знаменателе ряды из эквивалентных бесконечно малых положительных слагаемых, ряд в знаменателе расходящийся.Тогда отношениее их n-х частичных сумм стремится к 1. Если взять в любом учебнике доказательство "признака сравнения рядов в предельной форме", то данный факт получается из него (доказательства, а не самого признака) попутно. Приведу независимое подробное док-во, т.к. есть оформленное.
Теперь можем доказать [math]
непосредственно.
Для любого [math] найдем номер N, такой, что при всех n>N [math]
Найдем суммы тех элементов, при которых это не выполняется [math]
[math]
Пусть M>N. Обозначим [math]
Идея доказательства в том, что благодаря расходимости ряда S можно сделать гораздо больше и В, и С. При этом[math]
Попробуем добиться выполнения двойного неравенства
[math]
Для этого достаточно выполнения двух неравенств
[math]
[math]
Эквивалентно преобразуем каждое
[math]
[math]
Получаем 2 условия на S
[math]
[math]
Так как ряд расходится, найдется столь большое M, что начиная с него оба эти неравенства выполняются. И тогда выполняется (*), делим его на C+S>0
[math]
[math]
[math]
- в силу произвольности [math] отношение частичных сумм может быть сделано как угодно близко к 1. что и требовалось доказать
По поводу дополнения поста 6 - в следующем посте

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 28 янв 2016, 01:11

К посту 6. там имели:
[math]
геометрически очевидно
Так как f монотонна и [math] тоже, разность крайней правой и крайней левой частей
[math] окраничена, а сами части бесконечно большие по условию
Поэтому делим на крайнюю левую все двойное неравенство и получаем в пределе 1
Напомню, что f ограничена и монотонно убывает на замкнутой полуоси, начиная с 0. Чтобы получить известные элементарные функции, мы их переопроеделяем на [0,1],или на [0,2], не нарушая теоремы. У первообразной F(0) не фиксируем, это тоже не нарушит теоремы

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение peregoudov » 29 янв 2016, 18:26

Ian, делайте скидку: у меня за давностью лет в голове от матана остались лишь азы, и для меня доказательство заключается именно в построении двусторонних оценок, а не в ссылках на хитрые теоремы.

У меня у самого была идея использовать (для исходного примера) неравенство [math] при [math], но меня остановило как раз то, что N получается зависимым от [math] и нужно оценивать растущую сумму первых N членов. Теперь вижу, что зря: оценка получается довольно простой.

[math]
Вот этого снова не понимаю... Сам пытался построить оценку для этой суммы, но ничего хорошего не вышло. У самого возникли подозрения, что этот ряд сходящийся. Но доказать... А ваше неравенство мне представляется просто неправильным, ведь

[math]

и, выбирая [math] достаточно большим, можно его нарушить.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение Ian » 29 янв 2016, 21:33

peregoudov писал(а):I
[math]
Вот этого снова не понимаю...

Да, у меня ошибка при переписывании,[math]
В общем случае члены ряда не убывают монотонно, но стремятся к 0 и максимум существует. А f точно монотонна, и поэтому каждая квадратная скобка положительна. и оценивается через телескопическую сумму

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Re: Расходимость рядов. Во какие теоремы там бывают

Сообщение peregoudov » 02 фев 2016, 18:14

Да, я ошибался, когда мне казалось, что ряд сходится. Оценочка слабенькая, но лучше, наверное, и не сделаешь. По крайней мере для [math] и [math] имеем [math] и

[math]

что, наверное, лучше чем [math] не оценишь...


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 15 гостей