Определитель вроде Вандермонда

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Определитель вроде Вандермонда

Сообщение Ian » 07 май 2020, 17:31

zykov писал(а):Определитель этой матрицы равен $v s_{n-j}$.

А почему? Это очевидно только при j=0 и j=n

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Определитель вроде Вандермонда

Сообщение zykov » 07 май 2020, 17:53

Я не доказывал.
Просто посчитал для нескольких первых $n$ и всех $j<n$. Везде сходится. Сомнений в верности нет.
Но думаю, что доказать не сложно на базе доказательства для собственно матрицы Вандермонда.
Как например доказательство "By row and column operations".

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Определитель вроде Вандермонда

Сообщение Ian » 07 май 2020, 18:29

А ну да добавим параллельно в роли степеней [math] степени переменной t, определитель это многочлен от t и по теореме Виета я на свой вопрос ответил

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Определитель вроде Вандермонда

Сообщение zykov » 07 май 2020, 19:45

Ian писал(а):Source of the post определитель это многочлен от t и по теореме Виета

Да, так вообще сразу доказывается.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Определитель вроде Вандермонда

Сообщение zykov » 08 май 2020, 20:04

zykov писал(а):Source of the post Остальные матрицы такие же, как и первая, только для чётного $j$ вместо столбца порядка $j$ будет столбец нулевого порядка не со старшим коэффициентом полинома Чебышева, а с коэффициентом $d_j$.
Если все коэффициенты вынести из определителя, то получится множитель $$C_{j-1}^{j/2} \frac{2^k}{2^{j-1}}$$.
Если оставшийся единичный столбец нулевого порядка переставить в начало, то получится почти матрица Вандермонда.

Тут небольшой комментарий.
Не "с коэффициентом $d_j$", а "с коэффициентом $-d_j$".
"Если оставшийся единичный столбец нулевого порядка переставить в начало" - тут идёт нечётное количество перестановок столбцов (т.к. единичный столбец находится в чётной позиции), поэтому определитель меняет знак (сохраняя абсолютную величину).
В итоге два минуса сокращаются.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 16 гостей