Нелинейная рекуррентная система

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение Ian » 17 апр 2020, 12:35

[math]
Из какого-то учебника. Общих методов решения для нелинейных систем, насколько я понимаю, нет. Пригодились бы "общие интегралы" системы вида [math] такой почти получился но видимо его нет
Конечно решение будет зависеть от пары значений в k=0, или пары произвольных констант

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 18 апр 2020, 02:28

Так а что про неё нужно сказать то? В чём вопрос?

Стационарных точек у неё четыре.
Две действительных: $(4,2)$ и $(-2,-1)$.
И две комплексных: $(1-i\sqrt 7,(-1+i\sqrt 7)/2)$ и $(1+i\sqrt 7,(-1-i\sqrt 7)/2)$.
Все четыре точки неустойчивые.
Скорее всего из любого начального состояния, кроме этих четырёх точек мы довольно быстро уйдем в бесконечность.

Если хотелось найти явную формулу для решения, то вряд ли она существует.
Разве что в условии ошибка где-то закралась.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 18 апр 2020, 03:03

zykov писал(а):Source of the post Скорее всего из любого начального состояния, кроме этих четырёх точек мы довольно быстро уйдем в бесконечность.

Хотя нет, есть ещё циклы.
Например для двойного шага будут ещё стационарные точки.
(Мат.пакет выдал 12 штук, но что-то не видно корней с квадратным корнем из 7. Видимо не всё корни нашел.)

Код: Выбрать все

x=1.720141199392917*i+0.7951930906857606, y=-1.122068881604835*i-0.1909255982209912
x=0.7951930906857606-1.720141199392917*i,y=1.122068881604835*i-0.1909255982209908
x=-1.705559906029757,y=-0.1959724950884086
x=0.7614729472740035*i-1.804901030733882,y=0.1714442443127876*i-0.7542438039664332
x=-0.7614729472740035*i-1.804901030733882,y=-0.1714442443127851*i-0.7542438039664346
x=3.214802215811182*i+0.7165532230130965,y=-1.542836298519831*i-0.2343794703074658
x=0.7165532230130965-3.214802215811182*i,y=1.542836298519752*i-0.2343794703074562
x=0.3267735081377342*i+4.47490230727213,y=0.100233467806984*i+2.372864671444002
x=4.47490230727213-0.3267735081377342*i,y=2.372864671444003-0.1002334678069865*i
x=4.842064714946071,y=2.559340659340659
x=4,y=2
x=-2,y=-1

Это значит, что кроме 4 стационарных точек ещё есть несколько пар разных точек образующих циклы длины 2.
Скорее всего есть и более длинные циклы.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение Ian » 18 апр 2020, 05:56

Огромное спасибо. А есть ли возможность найти цикл длины ровно 3, то есть не являющийся циклом длины 1. Есть мысль что это будет доказательством наличия опечатки. https://ru.wikipedia.org/wiki/Порядок_Шарковского
Цикл длины 3 влечет хаос, в частности невозможность общей точной элементарной формулы для решений.
Конечно выгляжу заигравшимся фанатиком "доказательства наличия опечатки". Но у меня таких мощных программных средств чтобы это определить -нету.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 18 апр 2020, 06:47

Думал ещё сюда комплексные числа подключить, но в чистом виде не выходит.
Если $z=x+i y$, то $z(k+1)=8+z+i z^2+4 \; Im \; z-3i \; (Im \; z)^2$.
А так было бы похоже на фрактал Жулиа.
Там $z(k+1)=z^2+c$ (где $c$ - некоторый комплексный параметр). Множество точек $z(1)$ для которых последовательность ограничена имеет форму фрактала обычно (зависит от $c$).

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 18 апр 2020, 07:41

Ian писал(а):Source of the post А есть ли возможность найти цикл длины ровно 3, то есть не являющийся циклом длины 1.

Ну вот Ньютоновские итерации начиная из $(0,0)$ сразу сошлись к точке $(-1.71607498144, -0.191157674345)$.
Для неё последовательность $z_2, \; z_3, \; z_4$ выглядит как $(4.86321, 2.60759),\; (-2.06896, -0.939689),\; (-1.71607, -0.191158)$.
Рядом ещё одна тройка нашлась: $(3.86366813711, 1.8878899668) (4.82687, 2.55931)   (-1.64278, -0.34226)   (3.86367, 1.88789)$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 18 апр 2020, 07:54

zykov писал(а):Source of the post Если $z=x+i y$, то $z(k+1)=8+z+i z^2+4 \; Im \; z-3i \; (Im \; z)^2$.

Если бы система была: $$\begin{cases}\begin{array}{cccccc}x(k+1) & = & 8+ & x(k) & +4y(k) & -2x(k)y(k) \\y(k+1) & = &  & y(k) & -4x(k) & +x^{2}(k) -y^{2}(k)\end{array}\end{cases}$$
То можно было бы записать: $z(k+1)=8+z-4i z+i z^2$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 19 апр 2020, 01:06

zykov писал(а):Source of the post То можно было бы записать: $z(k+1)=8+z-4i z+i z^2$.

Это уже в чистом виде фрактал Жулиа, если сделать "сдвиг и поворот".
Если $z=2+i/2-i \; w$, то $w(k+1)=17/4+8i+w^2(k)$.
Попробовал фрактал построить, при таком большом $c$ не получается - везде расходится.
Если не ошибаюсь, при $|c|>2$ там всегда расходится.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение Ian » 19 апр 2020, 06:03

Ну да, а в первом посте я пытался привести к с=0, вот оно решается [math]

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нелинейная рекуррентная система

Сообщение zykov » 21 апр 2020, 05:42

Ian писал(а):Source of the post а в первом посте я пытался привести к с=0

Да, при $c=0$ решение тривиальное.
Я тут хотел подчеркнуть другое - что при $c \neq 0$ (а этот случай имеет некоторую аналогию и исходной задачей), несмотря на простой вид, поведение может быть довольно сложным.
Если $|z(k)|$ больше радиуса убегания $R$, такого что $R^2-R=|c|$, то дальше модуль $z$ будт только расти и всё уйдет на бесконечность.
При достаточно больших $|c|$ почти все исходные точки ведут к бесконечности, кроме отдельных точек входящих в какой-то конечный цикл.
Так, если $c \neq 1/4$, то всегда будет две стационарных точки. Для цикла длины два получим полином 4-ой степени. Два его корня - это две стационарные точки, два других корня - это две точки одного цикла длины 2. И так далее - есть циклы любой длины (в комплексной плоскости).
Т.е. для сколь угодно большого $|c|$ будут отдельные точки (входящие в какой-то цикл), для которых последовательность будет ограниченной. Но для других начальных точек всё уйдет на бесконечность.
С другой стороны, при достаточно маленьком $|c|$ для некоторых начальных точек последовательность останется ограниченной, хотя и не будет циклической (это будут хаотические скачки). Множество таких точек и определяет фрактал Жулиа, т.е. имеет весьма нетривиальную форму.
Очевидно, что при $c \neq 0$ никакая аналитическая формула не опишет такого поведения.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 11 гостей