[math]
Из какого-то учебника. Общих методов решения для нелинейных систем, насколько я понимаю, нет. Пригодились бы "общие интегралы" системы вида [math] такой почти получился но видимо его нет
Конечно решение будет зависеть от пары значений в k=0, или пары произвольных констант
Нелинейная рекуррентная система
Нелинейная рекуррентная система
Так а что про неё нужно сказать то? В чём вопрос?
Стационарных точек у неё четыре.
Две действительных: и .
И две комплексных: и .
Все четыре точки неустойчивые.
Скорее всего из любого начального состояния, кроме этих четырёх точек мы довольно быстро уйдем в бесконечность.
Если хотелось найти явную формулу для решения, то вряд ли она существует.
Разве что в условии ошибка где-то закралась.
Стационарных точек у неё четыре.
Две действительных: и .
И две комплексных: и .
Все четыре точки неустойчивые.
Скорее всего из любого начального состояния, кроме этих четырёх точек мы довольно быстро уйдем в бесконечность.
Если хотелось найти явную формулу для решения, то вряд ли она существует.
Разве что в условии ошибка где-то закралась.
Нелинейная рекуррентная система
zykov писал(а):Source of the post Скорее всего из любого начального состояния, кроме этих четырёх точек мы довольно быстро уйдем в бесконечность.
Хотя нет, есть ещё циклы.
Например для двойного шага будут ещё стационарные точки.
(Мат.пакет выдал 12 штук, но что-то не видно корней с квадратным корнем из 7. Видимо не всё корни нашел.)
Это значит, что кроме 4 стационарных точек ещё есть несколько пар разных точек образующих циклы длины 2.
Скорее всего есть и более длинные циклы.
Нелинейная рекуррентная система
Огромное спасибо. А есть ли возможность найти цикл длины ровно 3, то есть не являющийся циклом длины 1. Есть мысль что это будет доказательством наличия опечатки. https://ru.wikipedia.org/wiki/Порядок_Шарковского
Цикл длины 3 влечет хаос, в частности невозможность общей точной элементарной формулы для решений.
Конечно выгляжу заигравшимся фанатиком "доказательства наличия опечатки". Но у меня таких мощных программных средств чтобы это определить -нету.
Цикл длины 3 влечет хаос, в частности невозможность общей точной элементарной формулы для решений.
Конечно выгляжу заигравшимся фанатиком "доказательства наличия опечатки". Но у меня таких мощных программных средств чтобы это определить -нету.
Нелинейная рекуррентная система
Думал ещё сюда комплексные числа подключить, но в чистом виде не выходит.
Если , то .
А так было бы похоже на фрактал Жулиа.
Там (где - некоторый комплексный параметр). Множество точек для которых последовательность ограничена имеет форму фрактала обычно (зависит от ).
Если , то .
А так было бы похоже на фрактал Жулиа.
Там (где - некоторый комплексный параметр). Множество точек для которых последовательность ограничена имеет форму фрактала обычно (зависит от ).
Нелинейная рекуррентная система
Ian писал(а):Source of the post А есть ли возможность найти цикл длины ровно 3, то есть не являющийся циклом длины 1.
Ну вот Ньютоновские итерации начиная из сразу сошлись к точке .
Для неё последовательность выглядит как .
Рядом ещё одна тройка нашлась: .
Нелинейная рекуррентная система
zykov писал(а):Source of the post То можно было бы записать: .
Это уже в чистом виде фрактал Жулиа, если сделать "сдвиг и поворот".
Если , то .
Попробовал фрактал построить, при таком большом не получается - везде расходится.
Если не ошибаюсь, при там всегда расходится.
Нелинейная рекуррентная система
Ну да, а в первом посте я пытался привести к с=0, вот оно решается [math]
Нелинейная рекуррентная система
Ian писал(а):Source of the post а в первом посте я пытался привести к с=0
Да, при решение тривиальное.
Я тут хотел подчеркнуть другое - что при (а этот случай имеет некоторую аналогию и исходной задачей), несмотря на простой вид, поведение может быть довольно сложным.
Если больше радиуса убегания , такого что , то дальше модуль будт только расти и всё уйдет на бесконечность.
При достаточно больших почти все исходные точки ведут к бесконечности, кроме отдельных точек входящих в какой-то конечный цикл.
Так, если , то всегда будет две стационарных точки. Для цикла длины два получим полином 4-ой степени. Два его корня - это две стационарные точки, два других корня - это две точки одного цикла длины 2. И так далее - есть циклы любой длины (в комплексной плоскости).
Т.е. для сколь угодно большого будут отдельные точки (входящие в какой-то цикл), для которых последовательность будет ограниченной. Но для других начальных точек всё уйдет на бесконечность.
С другой стороны, при достаточно маленьком для некоторых начальных точек последовательность останется ограниченной, хотя и не будет циклической (это будут хаотические скачки). Множество таких точек и определяет фрактал Жулиа, т.е. имеет весьма нетривиальную форму.
Очевидно, что при никакая аналитическая формула не опишет такого поведения.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 11 гостей