Здраствуйте.
Возник у меня вопрос по задаче из приложений интегрального исчисления, вроде бы стандартной, но не совсем.
Требуется вычислить объём тела, полученного вращением фигуры, образованной линиями [math], вокруг одной из этих прямых, а именно, вокруг прямой [math].
Короче говоря, дан треугольник с вершинами [math]. И его вращают вокруг одной из сторон. Искомое тело - два конуса с общим основанием.
Задача с виду несложная. Но как учесть наклонную ось вращения? Как преобразовать координаты?
Я пробовала выбрать новый базис пространства и применить афинное преобразование, но запуталась с обратимой матрицей. Да и нужно ли здесь афинное преобразование? Я совсем не уверена.
Вращение фигуры вокруг наклонной оси
Вращение фигуры вокруг наклонной оси
Dolly писал(а):Source of the post Да и нужно ли здесь афинное преобразование?
Не нужно.
Достаточно движения (параллельный перенос + поворот).
Хотя и без этого понятно, что будет объем одного конуса плюс объем другого конуса. Нужны только их высоты и их общий радиус основания.
Перпендикуляр к оси имеет уравнение . Если он проходит через , то уравнение будет . Значит ось он пересечет в точке .
Расстояние от этой точки до точки - радиус, до точки - одна высота, до точки - вторая высота.
Вращение фигуры вокруг наклонной оси
zykov, огромное спасибо, всё поняла.
Только вот что меня смущает. Вы для нахождения объёма тела использовали приёмы аналитической геометрии. Здесь может это и оправдано.
Но ведь фигура вращения может быть и криволинейная. В учебниках матанализа рассматриваются вычисления объёма тел с помощью интегралов при вращении их либо вокруг оси абсцисс, либо ординат.
А если ось вращения наклонная? В учебниках об этом ни слова, я специально просмотрела 3 известных учебника.
Вы упомянули про сдвиг и поворот осей. А существуют ли общие методы для произвольной оси вращения [math]?
Только вот что меня смущает. Вы для нахождения объёма тела использовали приёмы аналитической геометрии. Здесь может это и оправдано.
Но ведь фигура вращения может быть и криволинейная. В учебниках матанализа рассматриваются вычисления объёма тел с помощью интегралов при вращении их либо вокруг оси абсцисс, либо ординат.
А если ось вращения наклонная? В учебниках об этом ни слова, я специально просмотрела 3 известных учебника.
Вы упомянули про сдвиг и поворот осей. А существуют ли общие методы для произвольной оси вращения [math]?
Вращение фигуры вокруг наклонной оси
Dolly писал(а):Source of the post Вы упомянули про сдвиг и поворот осей. А существуют ли общие методы для произвольной оси вращения y=ax+b?
Конечно.
Сдвигом переместите любую точку этой прямой в . Например может быть удобно переместить точку .
Потом поворотом вокруг точки совместите прямую с осью . И потом вращайте вокруг этой оси.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость