Вращение фигуры вокруг наклонной оси

Dolly · Сообщение **Dolly** » 31 мар 2020, 13:09

Здраствуйте.
Возник у меня вопрос по задаче из приложений интегрального исчисления, вроде бы стандартной, но не совсем.
Требуется вычислить объём тела, полученного вращением фигуры, образованной линиями

y=x+4,y=2x+1,x=0, вокруг одной из этих прямых, а именно, вокруг прямой

y=2x+1.
Короче говоря, дан треугольник с вершинами

(0,1),(0,4),(3,7). И его вращают вокруг одной из сторон. Искомое тело - два конуса с общим основанием.
Задача с виду несложная. Но как учесть наклонную ось вращения? Как преобразовать координаты?
Я пробовала выбрать новый базис пространства и применить афинное преобразование, но запуталась с обратимой матрицей. Да и нужно ли здесь афинное преобразование? Я совсем не уверена.

zykov · Сообщение **zykov** » 31 мар 2020, 15:50

Dolly писал(а):Source of the post Да и нужно ли здесь афинное преобразование?

Не нужно.
Достаточно движения (параллельный перенос + поворот).
Хотя и без этого понятно, что будет объем одного конуса плюс объем другого конуса. Нужны только их высоты и их общий радиус основания.

Перпендикуляр к оси имеет уравнение $y=-x/2$

. Если он проходит через $(0,4)$

, то уравнение будет $y=-x/2+4$

. Значит ось он пересечет в точке $(\frac 65,\frac {17}5)$ .
Расстояние от этой точки до точки $(0,4)$

- радиус, до точки $(0,1)$

- одна высота, до точки $(3,7)$

- вторая высота.

Dolly · Сообщение **Dolly** » 05 апр 2020, 09:42

zykov, огромное спасибо, всё поняла.
Только вот что меня смущает. Вы для нахождения объёма тела использовали приёмы аналитической геометрии. Здесь может это и оправдано.
Но ведь фигура вращения может быть и криволинейная. В учебниках матанализа рассматриваются вычисления объёма тел с помощью интегралов при вращении их либо вокруг оси абсцисс, либо ординат.
А если ось вращения наклонная? В учебниках об этом ни слова, я специально просмотрела 3 известных учебника.
Вы упомянули про сдвиг и поворот осей. А существуют ли общие методы для произвольной оси вращения

y=ax+b?

zykov · Сообщение **zykov** » 05 апр 2020, 09:47

Dolly писал(а):Source of the post Вы упомянули про сдвиг и поворот осей. А существуют ли общие методы для произвольной оси вращения y=ax+b?

Конечно.
Сдвигом переместите любую точку этой прямой в $(0,0)$

. Например может быть удобно переместить точку $(0,b)$

.
Потом поворотом вокруг точки $(0,0)$

совместите прямую $y=ax$

с осью

. И потом вращайте вокруг этой оси.

Портал Естественных Наук, версия 1.1